Jelölések: Legyen (Hk) (olvasata H alatt k) a H halmaz k elemű részhalmazainak halmaza. Legyen (nk) egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma.
Az ilyen alakú számokat binomiális együtthatóknak nevezzük. Az elnevezés indoka csak később derül ki.
Példa: (n0)=1, (nn)=1, (nK)=0, ha K>n.
Tétel: (nk)= (n-1k)+(n-1k-1).
Bizonyítás: Legyen H egy n elemeű halmaz egy speciális s elemmel. Legyen H'=H-{s} egy n-1 elemű halmaz. (Hk) elemeit osszuk két diszjunkt osztályba aszerint, hogy s eleme a megfelelő részhalmaznak vagy sem. Az s-et nem tartalmazó k elemű részhalmazok (H'k) halmazt adják ki, azaz számuk (n-1k). Az s-et tartalmazó k elemű részhalmazok párbaállíthatók (H'k-1) elemeivel, azaz számuk (n-1k-1). A párbaállításnál egy R részhalmaz párja R-{s} (inverze (H'k-1) egy eleméhez azt a párt rendeli, amelyet az s elem hozzáadásaval kapunk.) Így adódik az állítás.
Megjegyzés:
Az
(nk)
számok egy ``kétirányban
végtelen téglalap'' alakú táblázatba
sorolhatók:
n=0 | n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | n=5 | n=6 | n=7 | n=8 | |
k=0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
k=1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
k=2 | 0 | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 |
k=3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 |
k=4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 |
k=5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 6 | 21 | 56 |
k=6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 7 | 28 |
k=7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 8 |
k=8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | ||||||||||||||||||
1 | 1 | |||||||||||||||||
1 | 2 | 1 | ||||||||||||||||
1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||||
1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||||
1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||||||||||
1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||||||||||
1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||||
1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||||||||||
1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 |
A Maple program   külön utasítással rendelkezik a binomiális együtthatók kiszámítására.
A Pascal-háromszög figyelmes tanulmányozása nagyon sok érdekes megfigyeléshez vezethet. Ezek közül néhány az interneten is elérhető: