Konkrét részbenrendezett halmaz esetén az előző megfordítási képletben szereplő együtthatók meghatározása komoly probléma.
Definíció: Legyen (P,<=) egy részbenrendezett halmaz. Legyen µ(p,q) az f(p) érték kifejezésében az f^(q) függvényérték együtthatója. Azaz µ egy P×P -> R függvény, a (P,<=) részbenrendezett halmaz Möbius-függvénye.
Megjegyzés: Azaz µ függ a (P,<=) részbenrendezett halmaztól. Helyesebb lenne a µ(P,<=)jelölés. Ha több részbenrendezett halmaz Möbius-függvényével dolgozunk, akkor az egyértelműség kényszerít minket a részbenrendezett halmazok feltüntetésére.
A mátrix nyelvezet használata most is hasznos. A Ð mátrix invertálhatóságát már láttuk. Ennek inverze éppen az előbbtárgyalt együtthatókat tartalmazza.
Definíció: Legyen (P,<=) egy részbenrendezett halmaz. Legyen µ a Ð mátrix inverze. a (P,<=) részbenrendezett halmaz Möbius-függvénye.
Megjegyzés: A µ, illetve a µ(P,<=) jelölés így egy függvényt és egy mátrixot is jelöl. Ez nem okoz félreértést µ(P,<=)(p,q)-t felfoghatjuk úgy is mint egy függvényérték és úgy is mint egy mátrix eleme.
Megjegyzés: A félév elején azonosítottuk egy n elemű halmazon értelmezett függvényeket és az n hosszú vektorokat. Most általában egy n elemű és egy m elemű halmaz Descartes-szorzatán értelmezett függvény azonosítható egy n×m méretű mátrix-szal. Tehát egy véges halmazon értelmezett függvény amennyiben értelmezési tartománya egy szorzat halmaz leírható egy számtáblázattal/mátrix-szal. Ez nagyon természetes azonosítás. A mindennapokban is, ha egy periódus minden évében, minden hónapban meg akarjuk adni a forint/Euro árfolyamát, akkor egy táblázatot készítünk, aminek sorai az éveknek, oszlopai a hónapoknak felelnekmeg és a tábalázat pozícióiba írjuk az egyes árfolyamokat.
Lemma: µ függvény ért'ekei/mátrix elemei egészek.
Bizonyítás: A megfordítási képlet létezését igazoló mindkét bizonyítást használhatjuk. Talán legegyszerűbb a ``mátrixos'' bizonyításra alapozni:
µ a Ð mátrix inverze, ami egy alsó trianguláris mátrix, 1-esekkel a főátlón és egész értékekkel máshol. A mátrix invertálási képletekből adódik (az inverz mátrix elemei két determináns hányadosaként állnak elő, ahol a nevező az invertált mátrix determinánsa; ez esetünkben 1), hogy az inverz mátrix elemei egészek.
Tétel:
(i) µ(p,p)=1
(ii) Ha q<=p NEM teljesül, akkor µ(p,q)=0
(iii) Legyen q < p. r fusson végig azon a P-beli elemeken, amelyekre q<=r<=p és adjuk össze a µ(p,r) számokat. Ekkor 0-t kapunk.
Bizonyítás: A megfordítási képlet létezését igazoló mindkét bizonyítást használhatjuk.
Megjegyzés: (iii)-nek van egy (iii)' duálisa is: Legyen q < p. r fusson végig azon a P-beli elemeken, amelyekre q<=r<=p és adjuk össze a µ(r,q) számokat. Ekkor 0-t kapunk.
Megjegyzés: A fenti tétel µ (rekurzív) definíciójaként is felfogható