Definíció: P_k(n)={µ: az n szám k részes partíciója}. p_k(n)=|{µ: az n szám k részes partíciója}|.

Szükségünk lesz a további rokon halmazokra és függvényekre:

Definíció: P_<=k(n)= {µ: az n szám kegfeljebb k részes partíciója}. p_<=k(n)= |{µ: az n szám legfeljebb k részes partíciója}|.

P^k(n)={µ: az n szám partíciója, amelyben a max rész k}. p^k(n)=|{µ: az n szám partíciója, amelyben a max rész k}|.

P^<₌k(n)= {µ: az n szám partíciója, amelyben a max rész legfeljebb k}. p^<₌k(n)= |{µ: az n szám partíciója, amelyben a max rész legfeljebb k}|.

A bevezetett összeszámlálási problémák közötti kapcsolatot a következõ lemma foglalja össze.

Lemma: (i) p_<=k(n)=p_k(n)+p_k-1(n)+ p_k-2(n)+...+p₃(n)+p₂(n)+p₁(n).

(ii) p_k(n)=p_<=k(n)-p_<=k-1(n).

(iii) p^<₌k(n)=p^k(n)+p^k-1(n)+ p^k-2(n)+...+p³(n)+p²(n)+p¹(n).

(iv) p^k(n)=p^<₌k(n)-p^<₌k-1(n).

(v) p^k(n)=p^<₌k(n-k).

(vi) p_k(n)=p^k(n).

(vii) p_<=k(n)=p^<₌k(n).

Nem vizsgáljuk.

Nem vizsgáljuk.

Nem vizsgáljuk.

Tétel: p_k(0)+p_k(1)x+p_k(2)x²+ p_k(3)x³+...= x^k (1+x+x²+x³+...) (1+x²+x⁴+x⁶+...) (1+x³+x⁶+x⁹+...) (1+x⁴+x⁸+x¹²+...)... (1+x^k+x^2k+x^3k+...).

Bizonyítás: A p^<₌k(n) számok generátorfüggvénye ugyanúgy meghatározható, mint a p(n) számoké. Ebbõl a tétel állítása levezethetõ.