Generátorfüggvények, formális hatványsorok II.
Deriválás, végtelen összegek, helyettesítés
 
Deriválás

Formális hatványsorok deriváltja szintén a polinomoknál megismert szabályok természetes általánosításával definiálható:

[xk](A ')=(k+1).[xk+1]A

 
Egyenletek (differenciálegyeneletek)

X'=X (differenciálegyenlet)

Ha [x0]X adott, akkor az egyértelmű megoldhatóság könnyen ellenőrizhető. [x0]X=1 esetén a megoldás jelölése ex vagy exp(x). Tehát ex=exp(x)=1+x+x2/2+x3/6+x4/24+ x5/102+...+xk/k!+... .

 
Differenciálási szabályok

Az analízisben megszokott szabályok könnyen baláthatók.

 
Végtelen összegek

Legyen Fi (i=0,1,2,3,...) fomális hatványsorok sorozata. Ha deg Fi tart a végtelenbe, akkor tetszőleges k esetén a [xk]F0,[xk]F1, [xk]F2,[xk]F3,... sorozat véges sok nem-nulla tagot tartalmaz. Így F0+F1+F2+F3+... könnyen értelmezhető (analízisbeli tanumányok nélkül):

[xk](F0+F1+F2+F3+...)= [xk]F0+[xk]F1+ [xk]F2+[xk]F3+...

Lemma: (F0+F1+F2+F3+...)'= F'0+F'1+F'2+F'3+...

 
Helyettesítés

Definíció: Legyen F(x)=f0+f1x+f2x2+ f3x3+f4x4+... Legyen G(x) egy fomális hatványsor, amley konstans tagja 0, azaz [x0]G=0. Ekkor F(G(x))=F o G= f0+f1G(x)+f2G(x)2+ f3G(x)3+f4G(x)4+...

Lemma: (F o G)'= (F' o G). G'