A Catalan-számoknak sok ekvivalens definíciója van. Ezek a definíciók közül sok elérhető az interneten.
A Catalan-számok elnevezésüket Eugéne Charles Catalan (1814-1894) matematikusról kapták.
A rekurzióból a generátorfüggvénymeghatározása. A generátorfüggvényből a Catalan-számokra vonatkozó formula kifejtése.
Tétel: (Newton-formula) Legyen A olyan formális hatványsor, hogy [x0]A=1. Legyen A=1+A~. Ekkor A négyzetgyöke megkapható a következő képletből: 1+(1/21)A~+ (1/22)A~2+ (1/23)A~3+ (1/24)A~4+...+ (1/2k)A~k+...
Megjegyzés: (1/2k) az 1/2(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)...(1/2-i)...(1/2-k+1)/k! képlettel definiált. A formulában szereplő végtelen összeg kiszámítása nem kíván határátmenetet: minden k természets szám esetén véges sok tag lesz, amelyben xk együtthatója nem 0.
Bizonyítás: A Newton-formulában szereplő két kifejezés mindegyike teljesíti a
A,X=1/2A.X,, [x0]X=1
differenciálegyenletet. Erről viszont az egyértelmű megoldhatóság könnyen ellenőrizhető.
Példa: 1-4x négyzetgyökében az általános együttható kiszámítása.