A binomiális tétel


n fix esetén az (ni) (i=0,1,2,...,n) számokat egy polinomba füzzük össze. Ezt a polinomot úgy is megkaphatjuk, hogy egy n elemű halmaz összes részhalmazát elvonultatjuk magunk előtt és minden R részhalmaznál egy x|R| jegyzést teszünk, azaz jegyzésünk nem csak egy objektum elvonulására emlékszik, hanem arra is, hogy milyen elemszámú volt az elvonult részhalmaz. Az összes jegyzés adja együtt a fenti polinomot.

A fenti jegyzési eljárás annak a finomítása, amikor csak egy 1 jegyzést teszünk egy objektum elvonulása esetén. Ekkor jegyzéseink az elvonult részhalmazok számát adja meg, azaz esetünkben 2n-et.

Tétel: (n0)+ (n1)x+ (n2)x2+ (n3)x3+ ...+ (nn-1)xn-1+ (nn)xn =(1+x)n.

A tételben szereplő egyenlóség jobbról balra is elolvasható. Ekkor interpretációja: megmondja, hogy az 1+x kéttagú kifejezés (idegen szóval binom) hatványaiban milyen együtthatók szerepelnek. Ez alapján tételünket binomiális tételnek nevezik. Az (nk) számokra pedig mint binomiális együtthatókra szokás hivatkoni.

Tétel: (Binomiális tétel)

(1+x)n= (n0)+ (n1)x+ (n2)x2+ (n3)x3+ ...+ (nn-1)xn-1+ (nn)xn.

Feladat: Alice és Bob a következőkben állapodnak meg: minden hétvégen nézik a lottó sorsolást. Ha a kihúzott számok összege páros, akkor Alice nyer, ha páratlan, akkor Bob. Igen, de melyik lottót válasszák? (Ötöslottó: 1-90 számokból öt húzása, hatoslottó: 1-45 számokból hat húzása, skandináv lottó: 1-35 számokból hét húzasa.) Alice szereti a matematikát, Bob nem, ezért Bob megengedi Alice-nek, hogy döntsön. Hogyan döntsön Alice?

A feladat az alábbi középiskolai versenyfeladat egy változata:

Feladat: (Kürschák József emlékverseny) A és B a következő játékot játszák: A {1,2,...,100} halmaz egyvéletlen k elemű részhalmzát kiválasztják és a kiválasztott számokat összeadják. Ha az összeg páros, akkor A nyer, ha páratl;an, akkor B nyer. Elemezzük a játék igazságosságát k függvényében.