Polinomok

Feladat: Fejtsük ki az alábbi binom-hatványokat:

• (1+2x)⁴,
• (2x-5)⁷,
• (x-3y)⁵,
• (a-2b)⁸.

Feladat:

• Az alakú számokat (a és b racionális számok) nevezzük éppen irracionálisoknak. Bizonyítsuk be, hogy éppen irracionális számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa is éppen irracionális.
• Egy éppen irracionális szám alakját a standard alaknak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy a standard alakban szereplõ két racionális szám egyértelmû.
• Írjuk standard alakba az alábbi éppen irracionális számokat:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Feladat: Bizonyítsuk be, ha n természetes szám, akkor tizedestört-alakjában a tizedesvesszõt követõ elsõ n jegy egyenlõ.

Feladat: Állapítsuk meg milyen számjegyek állnak közvetlenük a tizedesvesszõtõl jobbra és balra a szám tízes számrendszerben felírt alakjában.

Feladat: Fejezzük ki a következõ polinomok együtthatóit kétféleképpen:

• (1+x)ⁿ(1+x)^m,
• (1+x)ⁿ(1-x)ⁿ.

Feladat: Írjuk fel a következõ polinomokat:

• (1+x+ x²+x³+x⁴+ x⁵+x⁶+x⁷+ x⁸+x⁹) (1+x¹⁰+ x²⁰+x³⁰+x⁴⁰+ x⁵⁰+x⁶⁰+x⁷⁰+ x⁸⁰+x⁹⁰),
• (1+x+ x²+x³+x⁴+ x⁵+x⁶+x⁷+ x⁸+x⁹) (1+x¹⁰+ x²⁰+x³⁰+x⁴⁰+ x⁵⁰+x⁶⁰+x⁷⁰+ x⁸⁰+x⁹⁰) (1+x¹⁰⁰+ x²⁰⁰+x³⁰⁰+x⁴⁰⁰+ x⁵⁰⁰+x⁶⁰⁰+x⁷⁰⁰+ x⁸⁰⁰+x⁹⁰⁰),
• (1+x)(1+x²) (1+x⁴)(1+x⁸)(1+x¹⁶)(1+x³²).

Feladat:

• Számoljuk ki az (1+x+x²+x³+x⁴+x⁵) (1+x²+x⁴+x⁶) (1+x⁵) (1+x¹⁰+x²⁰+x³⁰) polinomot.
• Van 5 darab 1 forintusunk, 3 darab 2 forintosunk, 1 darab 5 forintosunk és 3 darab 10 forintosunk. Milyen összegeket tudunk kifizetni és hányféleképpen?
• MI köze a fenti két feladatnak egymáshoz?

Feladat: Egy nem szabályos kocka olyan, hogy az i dobásánal valószínûsége p_i (i=1,2,3,4,5,6). Legyen p(x)=p₁+p₂x+ p₃x²+p₄x³+ p₅x⁴+p₆x⁵. Egy másik nem szabályos kocka esetén az i dobásánal valószínûsége q_i (i=1,2,3,4,5,6). Legyen q(x)=q₁+q₂x+ q₃x²+q₄x³+ q₅x⁴+q₆x⁵. A két kockát egyszerre feldobjuk és összeadjuk a két kidobott számot.

• Milyen eredmények lehetnek?
• Az egyes kimenetelek milyen valószínûséggel fordulnak elõ?
• Az ezen valószínúségekbõl ``összeállított'' polinom mi lesz?
• Meg lehet-e választani a {p_i}_{i=1,2,3,4,5,6} és {q_i}_{i=1,2,3,4,5,6} valószínûségeket úgy, hogy a kettõs kockadobás kimenetelei azonos valószínûségûek legyenek?

Feladat: [n]={1,2,3,4,...,n}-bõl válasszunk ki k számot és adjuk össze. Legyen (ⁿ_k)_sum0 azon k elemû részhalmazok száma, amelyeknél az összeg páros. Legyen (ⁿ_k)_sum1 azon k elemû részhalmazok száma, amelyeknél az összeg páratlan.

• Mi lesz (ⁿ_k)_sum0+(ⁿ_k)_sum1 értéke?
• Legyen n fix. k=0,1,2,...,n esetén a (ⁿ_k)_sum0-(ⁿ_k)_sum1 számokat fûzzük össze egy polinommá. Határozzuk meg ezt a polinomot.
• Határozzuk meg az összes olyan n, k párt, amikor [n]-nek ugyanannyi páros összeû k-részhalmaza van mint páratlan összegû.
• Határozzuk meg a (ⁿ_k)_sum0 és (ⁿ_k)_sum1 számokat.