Formális hatványsorok

Feladat: Legyen F=1+x+x⁴+x⁹+x¹⁶+... +xⁱ²+... Számoljuk ki F², F³ és F⁴ elsõ néhány együtthatóját. Mi ezeknek az együtthatóknak a jelentése?

Feladat: Bizonyítsuk be, hogy van egyetlen egy formális hatványsor, amelyre teljesül, hogy minden n természetes számra [xⁿ]Fⁿ⁺¹=1. Írjuk fel F elso néhány együtthatóját.

Feladat: Keressük meg azokat a formális hatványsorokat, amelyek önmagával vett szorzata (négyzete) 1-4x.

Definíció: sin(x)=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+...

cos(x)=1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+...

exp(x)=1+x+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+...

Feladat: Számoljuk ki a következõ formális hatványsorok elsõ néhány együtthatóját:

1. sin²(x)+cos²(x),
2. 1/cos(x),
3. sin(x)/cos(x),
4. 1/exp(x),
5. 2sin(x)cos(x).