Valós együtthatós, x határozatlanú formális hatványsorok jelölése: R[[x]]. Az A formális hatványsor esetén [x^k]A jelöli x^k együtthatóját A-ban.

A=B akkor és csak akkor, ha minden k természetes szám esetén [x^k]A=[x^k]B. Azaz A ``csak'' egy számsorozatot kódol.

Formális hatványsorok összeadása és szorzása a polinomoknál megismert szabályok szerint természetes módon definiálható:

[x^k](A+B):=[x^k]A+[x^k]B

[x^k](A.B):=összegezzük [xⁱ]A.[x^j]B-t azon i, j természetes számokra, amelyek összege k.

Számolási szabályok a megszokottak (lásd jegyzet!) és ez a tény természetes módon ellenőrizhető: Az alapműveletek definíciója az ellenőrizendő azonosságot végtelen sok együtthatóra (esetünkben valós számokra vonatkozó) azonosságra redukálja. Ezek ellenőrzése nem okoz különösebb gondot.

Az (AB)C=A(BC) azonosság ellnőrzéséhez mindkét oldalon a szorzás definíciójának kétszeres alkalmazásával kifejtjük x^k együtthatóját. Mindkét oldal esetén ugyanahhoz az eredményhez jutunk: Az összes lehetséges módon kiválasztunk A-ból, B-ből és C-ből egy-egy monomot úgy, hogy szorzatuk típusa x^k legyen, azaz a három monomban szereplő kitevők összege k legyen. A három monom együtthatóit összeszorozzuk és az így kapott szorzatokat összegezzük.

1. Megjegyés: A fenti szabályban szerplő összegzés véges sok tagot tartalmaz, hiszen a tagok mögött a k szám három természetes szám összegeként való felírásai vannak, amire csak véges sok lehetőség van.

2. Megjegyés: Az asszociativitás következm'enye: egy n tényezős szorzatot nem kell zárójeleznünk (bármely zárójelezése szerint kiértékelve ugyanahhoz az eredményhez jutunk).

3. Megjegyés: A háromtényezős szorzatoknál észlelteket kiterjesztjük n tényezős szorzatokra (természetes megsejtenünk az eredem'nyeket és egyszerű gyakorlat azokat teljes indukcióval belátni). Formális hatványsorok egy n tényezős szorzatában x^k együtthatóját úgy kapjuk meg, hogy mindegyik tényezőből kiválasztunk egy-egy monomot úgy, hogy az ebben szereplő x-kitevők összege k legyen. Az együtthatókat (n darab) összeszorozzuk. Majd összegyűjtjük azokat a szorzatokat, amelyeket a fentiek összes lehetséges módon való végrehajtásával kapunk. Az így összegyűjtött együtthatószorzatokat összegezzük.

• X+A=B

Az egyértelmű megoldhatóság könnyen látható. A megoldás jelölése: A-B.
 

• A.X=B, [x⁰]A nem 0

Az egyértelmű megoldhatóság könnyen meggondolható az egyenletnek az együtthetók szintjén való felírásával és az így kapott végtelen egyenletrendszer ``felgönyölítésével''. A megoldás jelölése B/A.

Példa: 1/(1-x)=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+...

• A.X=B.

Az előző speciális eset után a fenti egyenlet diszkussziója egyszerű. Ha deg A > deg B, akor nincs megoldás. Ha deg A <₌ deg B és deg A végtelen (azaz egyszerűen A=B=0), akkor végtelen sok megoldás van. Ha deg A <₌ deg B és deg A véges, akkor egyetlen egymegoldás van, amit B/A-val jelölünk.