Permutációk k ciklussal
 

Jelölések:

Jelölés: Egy n elemű halmaz k ciklusú permutációinak száma c(n,k).

Definíció: Egy n elemű halmaz k ciklusú permutációinak számának (-1)n+k-szorosát s(n,k)-val jelöljük és elsőfajú Stirling-számoknak nevezzük.

A számok elnevezésüket James Stirling (1692-1770) matematikusról kapták

A c(n,k) és s(n,k) számokkal több honlap foglalkozik. Néhányat a teljesség igénye nélkül megemlítünk: MathWorld  PlanetMath  The MacTutor History of Mathematics archive  Eric Weisstein's Treasure Troves of Science  Mathenomicon.net Online mathematical reference  GAP 4 .3 Manual  WolframResearch Mathematica

Formula:

Nem vizsgáljuk.

Rekurzió:

Tétel: c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k).

Tétel: s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k).

Generátorfüggvény:

Tétel: c(n,0)+c(n,1)x+c(n,2)x2+c(n,3)x3+...= x(x+1)(x+2)...(x+n-1).

Tétel: s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x2+s(n,3)x3+...= x(x-1)(x-2)...(x-n+1).