A fenti mindenki számára érthető mondat némi munkával formális matematikai definícióvá tehető. Lássuk a szükséges ``építkezést''.
Definíció: A természetes számok halmaza: N={0,1,2,...}.
A fenti definíció nem a végső formalizálás. A természetes számok halmazát a halmazelmélet előadáson, a halmazelmélet axiómái között definiáljuk. Erre a formális definícióra nincs szükségünk.
Ezekután egyszerűen leírható a véges halmazok egy sorozata.
Az [0]=Ø, [1]={1}, [2]={1,2}, [3]={1,2,3}, [4]={1,2,3,4},...,[n]={1,2,3,...,n-1,n},... halmazsorozat elemeit standard véges halmazoknak nevezzük.
Ismét elkerültük a teljes formalizmust. A természetes számok halmaza egy jól rendezett halmaz. Egy rendezett halmaz esetén beszélhetünk a kezdőszelet fogalmáról: egy olyan részhalmazról, amely minden elmével együtt az annál kisebb elemeket is tartalmazza. Egy elem által generált kezdő szelet egy generáló elemnél kisebb elemeket tartalmazza. A standard véges halmazokat definiálhatnánk, mint N elem által generált kezdőszeletei.
A standard véges halmazok definíciója után mér könnyű a véges halmazok fogalmát leírni. Ehhez azonban kiemelünk egy fontos alapelvet.
I. Alapelv: Két halmazt akkor nevezünk azonos elemszámú/számosságú-nak, ha elemeik párbaállíthatók/van köztük párbaállító leképezés.
Mikor nevezünk egy f:A->B leképezést A és B közötti párbaállító leképezésnek? A egy a elemére f(a)-t a párjának nevezzük. Tehát f-ről beszélhetünk úgy, hogy A elemeihez párokat rendel. Ez párbaállító leképzés lesz, ha különböző elemekhez különböző párokat rendel (f injektív) és minden B-beli elem valamely A-beli elem párja (f szürjektív). Azaz a párbállító leképzés a bijekció (injektív és szürjektív leképzés) egy másik neve.
Ez az alapelv egy óvodás számára is elmagyarázható: Bal kezünk ukkait illesszük a jobb kezünk ujjaihoz. Párok képződtek. Tehát bal kezünkön ugyanannyi ujj van mint jobb kezünkön. Ez az alapelv ``ősibb'' mint a számolás fogalma.
Definíció: Egy H halmaz véges halmaz, ha létezik egy standard véges halmaz és H közötti párbaállító leképezés.
Az elemszám definiálásához további lépések szükségesek.
Lemma: Legyen H egy véges halmaz. Ha f:[n]->H és f':[n']->H két párbaállító leképzés, akkor n=n'. Azaz ha két párbaállító leképezés is egy-egy standard véges halmaz elemeit a H véges halmaz elemeivel párosítja, akkor a két standard véges halmaz ugyanaz.
A fenti lemma nem állítja - sőt nem is igaz - hogy maga a párbaállító leképezés egyértelmű lenne. Visszatérve a kezünkhöz, amikor ujjainkat számoljuk, akkor az 1,2,... ujjainkhoz rendelése sokféleképpen történhet. Ennek ellenére mindig az {1,2,3,4,5} halmaz lesz párbaállító leképezésünk értelmezési tartománya. Azaz a lemma egy értelmes óvodás számára is magától értetődő. Célunk a pontos felépítéssel csak egy matematikai nyelv gyakorlása.
Definíció: Egy H halmaz elemszáma/számossága az n természetes szám, ha létezik f:[n]->H bijekció. Jelölésben |H|=n. Használatos még a #H jelölés is a H halmaz elemszámára. Az [n] halmaz elemszáma n, a standard n elmeű halmaz elnevezést is használjuk.
Az előző lemma azt igazolja, hogy az elemszám egyértelműen meghatározott. Na persze ez egy óvodás számára sem újdonság.