Legyen S a valós sorozatok halmaza. S-en definiálható az összeadás: az {ai} és {bi} sorozatok összege az a sorozat, amely i-edik eleme ai+bi. S-en definiálható a valós számmal történő szorzás: az {ai} sorozat c-szerese az a sorozat, amely i-edik eleme c.ai.
Operátornak nevezzük az S-ből S-be képező függvényeket. Egy O operátor lineáris, ha minden s, t sorozatokra és c, d valós számokra O(c.s+d.t)=c.O(s)+d.O(t).
Példa: Az I identitás operátor minden sorozathoz önmagát rendeli.
Példa: Az S eltolás operátor az a0, a1, a2, ... sorozathoz az a1, a2, a3, ... sorozatot rendeli.
Példa: A D differenciaoperátor az a0, a1, a2, ... sorozathoz az a1-a0, a2-a1, a3-a2, ... sorozatot rendeli.
Példa: A Q négyzetreemelés operátor az a0, a1, a2, ... sorozathoz az a02, a12, a22, ... sorozatot rendeli.
Megjegyzés: I, S, D operátorok lineárisak. A Q operátor nem lineáris.
Operátorokon is értelmezhetők műveletek.
Definíció: Két operátor összege úgy hat egy sorozaton, hogy a két operátor által adott egy-egy sorozat összegét rendeli hozzá.
Definíció: Egy operátor számszorosa egy sorozathoz az operátor alkalamzásával kapott sorozat számszorosát rendeli hozzá.
Definíció: Két operátor (O és P) szorzata (O.P) úgy hat egy sorozaton, hogy a P alkalmazásával kapott sorozatot helyettesítjük O-ba. Azaz a szorzás a kompozíció.
Megjegyzés: Könnyen ellenőrizhető az összeadás asszociativitása és kommutativitása. Hasonloán egyszerűen adódik a szorzás asszociativitása. A szorzás kommutativitása általában nem igaz.
Példa: D=S-I.
Példa: S.D=D.S .
A disztributivitási szabályra vonatkozó ismereteinket a következő tétel foglalja össze.
Tétel:
(i) (O+Q)R=OR+QR,
(ii) ha O lineáris, akkor O(Q+R)=OQ+OR.
Egy s sorozatra ismételten alkalmazzuk a differenciaoperátort. Így sorozatok egy sorozatát kapjuk. Vegyük ezen sorozatok első (0 indexű) elemit. Ezek egy sorozatot alkotnak. Hogyan kapcsolódik ez a kiinduló sorozathoz?
Legyen egy {si} sorozathoz hozzárendelve a {ti} sorozat, ahol ti=(Di s)(0). Néhány konkrét érték kifejezésével kapjuk, hogy t0=s0, t1=s1-s0, t2=s2-2s1+s0, t3=s3-3s2+s1-s0. Az is könnyen meggondolható, hogy az {si} és {ti} sorozatok közötti viszony megfordítható, azaz {ti}-ből kifejezhető {si}. Az {si} sorozat első néhány értékére vonatkozó formulá könnyen felírható: s0=t0, s1=t1+t0, s2=t2+2t1+t0, s3=t3+3t2+3t1+t0.
Mindkét képlet könnyen bebizonyítható az operátoraritmetika segítségével:
ti=(Di s)(0)=((S-I)i s)(0). (S-I)i az operátrorok számolási szabálya alapján (mindkét oldali disztributivitás alkalmazható hiszen S és I is lineáris, kommutativitás alkalmazható, hisz S hatványai és I felcserélhetőek) (S-I)i kifejtehető a binomiális tételbeli szabálynak megfelelően: ti=(ii)(Si s)(0)-(ii-1)(Si-1 s)(0) +(ii-2)(Si-2 s)(0)-(ii-3)(Si-3 s)(0) +(ii-4)(Si-4 s)(0)-...(-1)i(ii)(S0 s)(0)= si-i si-1+(i2) si-2-...+(-1)i s0.
si= (Si s)(0)=((D+I)i s)(0)= (Di s)(0)+(ii-1)(Di-1 s)(0) +(ii-2)(Di-2 s)(0)+(ii-3)(Di-3 s)(0) +(ii-4)(Di-4 s)(0)+...= ti+ i ti-1+ (i2) ti-2+...
Ezzel a megfordítási képletek alatt tárgyalt formulát is megkaptuk.