Jelölések: Legyen S egy alaphalmaz, A₁,A₂,A₃,...,A_n az alaphalmaz részhalmazai. Legyen I az {1,2,3,...,n} indexhalmaz egy részhalmaza. Legyen A_I azon A_i halmazok metszete, amelyek indexei I-beliek. A_Ø legyen S. Legyen µ_i azon |A_I|, azaz metszet-elemszámok, összege, ahol I végigfut az i elemû indexhalmazokon.

Tétel: |S-A₁ U A₂ U A₃ U...U A_n|= µ₀-µ₁+µ₂-... +(-1)ⁱµ_i+... +(-1)ⁿµ_n.

Bizoyítás: Legyen s a S alaphalmaz egy tetszõleges eleme. Hányszor számolja meg a bizonyítandó egyenlóség jobb oldalán álló kifejezés ezt az s elemet?

Hogy erre a kérdésre válaszolni tudjunk bevezetünk egy paramétert: Legyen t azon A_i halmazok száma, amelyek tartalmazzák s-et.

Elõször azt nézzük meg, hogy µ_i hányszor számolja meg s-et. s t darab halmazban van benne. Így (^t_i) darab i tagú metszet tartalmazza õt, azaz µ_i (^t_i)-szer számolja meg s-et. Ebbõl adódik, hogy a jobb oldal (^t₀)-(^t₁)+ (^t₂)+...+ (-1)ⁱ(^t_i)+...+ (-1)ⁿ(^t_n). Az összegzést abbahagyhatjuk azon tagnál, amely (^t_t) elõjelezése, ugyanis a késõbbi tagok már mind 0-k. A kapott kifejezés a Pascal-háromszög egy sorának váltakozó elõjelû összege, azaz (1-1)^t. Ez t>0 esetén 0. DE t=0 ESETÉN ÉRTÉKE 1.

Amit kaptunk az, hogy a jobb oldal S-A₁ U A₂ U A₃ U...U A_n elemeit 1-szer, a többi elemet 0-szor számolja meg, ami éppen a bizonyításhoz szükséges állítás.

A logikai szita a S-A₁ U A₂ U A₃ U...U A_n halmaz elemszámát adja meg a metszet-elemszámok függvényében. A halmazelméleti aritmetika alapján a S-A₁ U A₂ U A₃ U...U A_n halmazt A₁^-1 n A₂^-1 n A₃^-1 n ...n A_n^-1 alakba is írhatjuk, ahol A^-1 az A halmaz komplementere, azaz S-A. (Állapodjunk meg abban, hogy A¹ az A halmazt jelöli.)

A logikai szitát felhasználhatjuk a A₁^ß₁ n A₂^ß₂ n A₃^ß₃ n ...n A_n^ß_n halmazok elemszámának meghatározására is, ahol ß_i a {-1,1} halmaz egy eleme.