Generátorfüggvények, formális hatványsorok
Hatványozás
 
Egyenletek

Két megoldás adódik, a két megoldás egymás ellentettje. Azt amelyikben a konstans pozitív azt A négyzet gyökének nevezzük.

Példa: 1-4x négyzetgyökének első néhány együtthatójának kiszámolása.

Teljesen hasonlóan tárgyalható, az Xk=A egyenlet megoldása.

Lemma: Legyen A egy R[[x]]-beli formális hatványsor, 1 konstans taggal. Legyen k természetes szám. Ekkor az Xk=A, [x0]X=1 feltételeket pontosan egy X elégíti ki.

Jelölés: A fenti lemmában szereplő egyetlen megoldást "k-adik gyök A"-val jelöljük.

 
Hatványozás
Legyen r egy racionális szám, F egy formális hatványsor. Ekkor Fr a valós számok racionális kitevőjű hatványaihoz hasonlóan definiálható.
 
Newton-formula

Tétel: (Newton-formula) Legyen A olyan formális hatványsor, hogy [x0]A=1. Legyen A=1+A~. Ekkor A négyzetgyöke megkapható a következő képletből: 1+(1/21)A~+ (1/22)A~2+ (1/23)A~3+ (1/24)A~4+...+ (1/2k)A~k+...

Megjegyzés: (1/2k) az 1/2(1/2-1)(1/2-2)(1/2-3)...(1/2-i)...(1/2-k+1)/k! képlettel definiált. A formulában szereplő végtelen összeg kiszámítása nem kíván határátmenetet: minden k természets szám esetén véges sok tag lesz, amelyben xk együtthatója nem 0.

Bizonyítás: A Newton-formulában szereplő két kifejezés mindegyike teljesíti a

A,X=1/2A.X,, [x0]X=1

differenciálegyenletet. Erről viszont az egyértelmű megoldhatóság könnyen ellenőrizhető.

Példa: 1-4x négyzetgyökében az általános együttható kiszámítása.