A binomiális tétel


n fix esetén az (ni) (i=0,1,2,...,n) számokat egy polinomba füzzük össze. Ezt a polinomot úgy is megkaphatjuk, hogy egy n elemű halmaz összes részhalmazát elvonultatjuk magunk előtt és minden R részhalmaznál egy x|R| jegyzést teszünk, azaz jegyzésünk nem csak egy objektum elvonulására emlékszik, hanem arra is, hogy milyen elemszámú volt az elvonult részhalmaz. Az összes jegyzés adja együtt a fenti polinomot.

A fenti jegyzési eljárás annak a finomítása, amikor csak egy 1 jegyzést teszünk egy objektum elvonulása esetén. Ekkor jegyzéseink az elvonult részhalmazok számát adja meg, azaz esetünkben 2n-et.

Tétel: (n0)+ (n1)x+ (n2)x2+ (n3)x3+ ...+ (nn-1)xn-1+ (nn)xn =(1+x)n.

A tételben szereplő egyenlóség jobbról balra is elolvasható. Ekkor interpretációja: megmondja, hogy az 1+x kéttagú kifejezés (idegen szóval binom) hatványaiban milyen együtthatók szerepelnek. Ez alapján tételünket binomiális tételnek nevezik. Az (nk) számokra pedig mint binomiális együtthatókra szokás hivatkoni.

Tétel: (Binomiális tétel)

(1+x)n= (n0)+ (n1)x+ (n2)x2+ (n3)x3+ ...+ (nn-1)xn-1+ (nn)xn.