Halmazelméleti alapmûveletek

Feladat:

• Hány eleme van az alábbi halmaznak {0,{0,1},1,{1,{0,1}},{{1,0},1},{0,{1,1}},{1,0}}? Soroljuk fel ezeket az elemeket.
• Vegyük az elõbbi felsorolásban szereplõ halmazokat és számoljuk ki az uniójukat.

Feladat: Legyen A, B, C, A₁, A₂, A₃, A₄, ... egy S halmaz részhalmazai. Fejezzük ki SZAVAKKAL, hogy az alábbi halmazelméleti alapmûveletekkel kifejezett halmazoknak mik az elemeik.

Feladat: Legyen A, B, C, A₁, A₂, A₃, A₄, ... egy S halmaz részhalmazai. SZAVAKKAL leírtunk néhány halmaz elemeit. Fejezzük ki ezeket a halmazokat halmazelméleti formulákkal.

(i) Azon elemek, amelyek A, B és C közül pontosan egyben vannak benne.

(ii) Azon elemek, amelyek A₁, A₂, A₃, ..., A_n közül legalább t darab halmaznak eleme.

(iii) Azon elemek, amelyek A₁, A₂, A₃, ..., A_n közül legfeljebb t darab halmaznak eleme.

(iv) Azon elemek, amelyek A₁, A₂, A₃, ..., A_n közül pontosan t darab halmaznak eleme.

Feladat:

(i) Adottak az S alaphalmaz A₁, A₂, A₃, ..., A_n részhalmazai. Ezekbõl unió, metszet és komplementer képzéssel állítsunk elõ újabb halmazokat, amikbõl továbbiakat képezhetünk és így tovább. Igazoljuk, hogy az így képezhetõ halmazok száma legfeljebb 2²ⁿ

(ii) Igazoljuk, hogy az elõzõ felsõ becslés el is érhetõ alkalmas A_i halmazok esetén.

(iii) Hogy változik a válasz, ha az unió, metszet és különbség képzés mûveletekkel képezhetünk további halmazokat?

Feladat: Legyen A, B, C és D az S alaphalmaz adott részhalmazai. Döntsük el mikor található az alábbi összefüggést kielégítõ X részhalmaza S-nek. Ha található ilyen, akkor adjuk meg az összes lehetséges X-et is.

Definíció: Legyen R egy f függvény értelmezési tartományának részhalmaza, S értékkészletének egy részhalmaza. Legyen

.

Feladat: Igazoljuk, hogy

.  

Feladat: (Szita formula) Legyen A₁, A₂, ..., A_k egy S alaphalmaz részhalmazai. Igazoljuk, hogy

A következõ feladat jelölések árán fogalmazza meg az elõzõ feladat állítását

Feladat: Legyen

Ekkor

Feladat: Legyen T_m azon elemek halmaza S-bõl, amelyek pontosan m darab A_i halmaznak elemei. Igazoljuk, hogy

Feladat: Legyen T'_m azon elemek halmaza S-bõl, amelyek legfeljebb m darab A_i halmaznak elemei. Igazoljuk, hogy

Feladat: Legyen T''_m azon elemek halmaza S-bõl, amelyek legalább m darab A_i halmaznak elemei. Igazoljuk, hogy

Feladat: Igazoljuk, hogy

Feladat: Igazoljuk, hogy