Zorn-lemma

Definíció (I): Legyen A egy halmaz és < egy reláció rajta. (A,<) egy részbenrendezett halmaz, ha

• x < x NEM igaz,
• x < y és y< z esetén x < z,

Definíció (II): Legyen A egy halmaz és <₌ egy reláció rajta. (A,<_-) egy részbenrendezett halmaz, ha

• x <₌ x,
• x <₌ y és y <₌ x esetén x = y,
• x <₌ y és y <₌ z esetén x <₌ z,

Feladat:

1. Legyen (A,<) egy részbenrendezett halmaz(I). Definiáljuk a <₌ relációt úgy, hogy a <₌ b akkor és csak akkor teljesüljön, ha a < b vagy a = b. Ekkor (A,<₌) részbenrendezett halmaz (II).
2. Legyen (A,<₌) egy részbenrendezett halmaz(II). Definiáljuk a < relációt úgy, hogy a < b akkor és csak akkor teljesüljön, ha a <₌ b és a = b NEM igaz. Ekkor (A,<) részbenrendezett halmaz(I).
3. A fenti két irányú megfeleltetés párbaállítja a két definíció által leírt struktúrákat.

Definíció: (P, <) részbenrendezett halmaz. Legyen L a P alaphalmaz egy részhalmaza. L-et láncnak nevezzük, ha bármely két eleme összehasonlítható.

Definíció: (P, <) részbenrendezett halmaz. Legyen A a P alaphalmaz egy részhalmaza. A-t antiláncnak nevezzük, ha bármely két eleme nem összehasonlítható.

Feladat: Legyen (P,<) egy részbenrendezett halmaz. Ekkor < kiterjeszthetõ P egy rendezésévé.

Feladat: Legyen (P,<) egy részbenrendezett halmaz. Ekkor P-ben van maximális (nem bõvíthetõ) antilánc.

Feladat: Legyen (P,<) egy részbenrendezett halmaz. Ekkor P-ben van maximális (nem bõvíthetõ) lánc.

Feladat: Legyen V egy vektortér és A egy altere. Ekkor található olyan C altér, ami

• A-t csak a 0-vektorban metszi,
• Együtt kifeszi;tik a teljes V-t.

Feladat: Legyen V egy vektortér. Ekkor található olyan B vektorrendszer, ami

• lineárisan független,
• generálja V-t.

Feladat: Legyen V egy vektortér és egy F lineárisan függetelen vektorrendszer. Ekkor található olyan B vektorrendszer, ami

• tartalmazza F-et,
• lineárisan független,
• generálja V-t.

Feladat: Legyen R egy egységelemes gyûrû és legyen I egy R-tõl különbözõ ideálja. Ekkor van olyan J ideál, amire

• J tartalmazza I-t,
• J sem a teljes R,
• J maximális ezen tulajdonságokra, azaz a J-t valódi részként csak egyetlen ideál tartalmazza: R.

Feladat: Legyen G egy gráf, amely minden véges részgráfját kiszínezhetjük k színnel (k egy adott természetes szám). Igazoljuk, hogy ekkor G is kiszínezhetõ k színnel.

Feladat: Legyen H egy tetszõleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy A pontosan akkor tartozik H-hoz, ha A minden véges részhalmaza eleme H-nak. Ekkor minden H-beli A esetén van maximális A-t tartalmazó H-beli elem.

Feladat: Legyen f: R -> R valós függvény, ami tudja, hogy tetszõleges x, y valós számra

• Minden α valós számra m_α(x)=αx megoldás.
• f(0)=0 és f(-x)=-f(x).
• Tetszõleges k természetes számra és x₁, x₂, ..., x_k valós számokra f(x₁+x₂+...+x_k)=f(x₁)+f(x₂)+...f(x_k).
• Tetszõleges k természetes számra és x valós számra f(kx)=kf(x).
• Tetszõleges k pozitív egész számra és x valós számra f(x/k)=f(x)/k.
• Tetszõleges r racionális számra és x valós számra f(rx)=rf(x).
• Tetszõleges k természetes számra, r₁, r₂, ..., r_k racionális számokra és x₁, x₂, ..., x_k valós számokra f(r₁x₁+ r₂x₂+...+ r_kx_k)= r₁f(x₁)+ r₂f(x₂)+...+ r_kf(x_k).
• Ha f-rõl feltesszük, hogy monoton, akkor csak az m_α megoldások léteznek.
• Ha f-rõl feltesszük, hogy folytonos, akkor csak az m_α megoldások léteznek.
• Ha f-rõl feltesszük, hogy korlátos [0,1]-en, akkor csak az m_α megoldások léteznek.
• Adjunk meg f: Q(gyök 2) -> R valós függvényt, ami (C) megoldása és nem m_α alakú. (Q(gyök 2) a racionális számok Q testének bõvítése a négyzetgyök 2 számmal.
• Adjuk meg az összes megoldást.