Minta zárthelyi dolgozat

A zárthelyi hat feladatot fog tartalmazni. Az alábbi feladatok csak az alaposabb mintaadást szolgálják. Azaz egy lehetséges zh az alábbi feladatok közül valamelyik hat.

Feladat: Adjunk bijekciót az alábbi halmazok között:

• N₀×{0,1}, N₀×{0,1,2,3}, {N₀×N₀ azon (x,y) elemei, amelyre min(x,y)<₌1}.
• Egy egység befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöglap (zárt) pontjai; egy egységnégyzet (zárt lap) pontjai; egy egység befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöglap (zárt) pontji, miután kivettük az átfogója pontjait; a zárt negyedsík pontjai.

Feladat: Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok ekvivalenciáját mindkét irányú injekció megadásával.

• A sík háromszögeinek halmaza és a sík négyszögeinek halmaza.
• Az egységkocka pontjai, az egységnégyzet pontjai.

Feladat: Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok ekvivalensek:

• A×B és B× A
• ^{A U B}C és ^A C×^B C, ahol A és B két diszjunkt halmaz. (^XY az X-en értelmezett Y értékkészletű függvények halmazát jelöli.)

Feladat: A sík egész rácspontjai között a szomszédság fogalom a következő: (x,y) és (x',y') szomszédos, ha egyik koordinátájuk közös, a másik 1-gyel különbözik. Így minden egész koordinátájú pontnak négy szomszédja van. Egy séta olyan egész koordinátájú pontok sorozata, amelyekben minden pont az előző szomszédja. Egy séta lehet véges, vagy végtelen. Egy sétának akkor van végpontja, ha véges, amikor is végpontja a séta utolsó pontja.

Az alábbi halmazok közül melyek megszámlálhatóan végtelenek, melyek kontinuum számosságúak? Indokoljuk válaszunkat.

• az origóból induló, origó végpontú séták halmaza,
• összes végtelen séta halmaza,
• összes véges séta halmaza.

Feladat: Az alábbi halmazok közül melyek megszámlálhatóan végtelenek, melyek kontinuum számosságúak? Indokoljuk válaszunkat.

• összes szakasz halmaza a síkon,
• összes olyan szakasz halmaza a síkon, amely áthalad racionális koordinátájú ponton,
• összes olyan szakasz halmaza a síkon, amely egyik végpontja racionális koordinátájú pont,
• összes olyan szakasz halmaza a síkon, amely egyik végpontja racionális koordinátájú pont, továbbá egy olyan négyzet oldala, amely középpontja racionális koordinátájú pont.

Feladat: Az alábbi rendezett halmazok közül melyek hasonlóak, melyek nem. Indokoljuk válaszunkat.

• Az alaphalmaz a természetes számokból képzett nagyságszerinti rendezett párok halmaza ({(m,n): m < n egészek}). A rendezés a lexikografikus rendezés (azaz az első komponens szerint rendezünk, egyenlőség esetén a második komponens dönt).
• Az alaphalmaz a természetes számokból képzett nagyságszerinti rendezett párok halmaza ({(m,n): m < n egészek}). A rendezés az antilexikografikus rendezés (azaz a második komponens szerint rendezünk, egyenlőség esetén az első komponens dönt).
• Az alaphalmaz a természetes számokból képzett párok halmaza ({(m,n): m, n egészek}). A rendezés a lexikografikus rendezés (azaz az első komponens szerint rendezünk, egyenlőség esetén a második komponens dönt).
• Az alaphalmaz a természetes számokból képzett párok halmaza ({(m,n): m, n egészek}). A rendezés az antilexikografikus rendezés (azaz a második komponens szerint rendezünk, egyenlőség esetén az első komponens dönt).

Feladat: Legyen (A, <) és (B, <) két hasonló rendezett halmaz. Legyen (T) a következő tulajdonság: "Minden elem rákövetkezője valamelyik elemnek". Igazoljuk, hogy (A, <) akkor és csak akkor rendelkezik a (T) tulajdonsággal, ha (B, <) is rendelkezik. Adjunk meg két rendezett halmazt úgy, hogy egyik rendelkezzen a (T) tulajdonsággal, a másik ne.

Feladat: Legyen (A, <) és (B, <) két hasonló rendezett halmaz. Legyen (T) a következő tulajdonság: "bármely két elem között végtelen sok másik elem van" Igazoljuk, hogy (A, <) akkor és csak akkor rendelkezik a (T) tulajdonsággal, ha (B, <) is rendelkezik vele. Adjunk meg két rendezett halmazt úgy, hogy egyik rendelkezzen a (T) tulajdonsággal, a másik ne.

Feladat: Az alábbiakban ismert típusokból, alapműveletek segítségével rendezett halmazok típusait írtuk le. Melyek egyenlőek, melyek különbözőek? Indokoljuk válaszunkat.

• η, η+1+η, η+2+η, η+2+η+1
• &omega₀+η, ω₀+1+η
• λ, λ+λ, λ+λ+λ.

Feladat: Vizsgáljuk az 2010+α=α egyenletet, ahol α egy rendezett halmaz típusa.

• Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor oldható meg, ha minden n véges rendtípusra n+α=α egyenlet megoldható.
• Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor oldható meg, ha az α felírható ω₀+β alakban.

Feladat: Legyen I egy rendezett indexhalmaz, amelyre teljesül, hogy minden nem üres részének van minimális eleme. Legyen {U_i: i az I indexhalmaz eleme} síkbelí nyilt halmazok egy szigorúan növő rendszere, azaz i < j esetén U_i valódi része U_j-nek. Igazoljuk, hogy I megszámlálható.

Feladat: Egyenesek egy halmaza lefedi a síkot. Mi lehet az egyeneshalmaz számossága?