Ekvivalencia, megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosságú halmazok III

Feladat: Van-e olyan szakasz, amely nem tartalmaz olyan pontot, amely mindkét koordinátája racionális? Ha igen, akkor lehet-e tetszõleges a meredeksége? Mi a helyzet egyenessel?

Feladat: Adjunk egy-egy értelmû leképezéseket a következõ halmazok között:

1. a természetes számok részhalmazai,
2. A természetes számokon értelmezett 0-1 értékû függvények,
3. a természetes számokból álló számpárok halmazának részhalmazai,
4. a természetes számpárok permutációi,
5. a természetes számok halmazának osztályozásai.

Megjegyzés: Ha két halmaz között mindkét irányban létezik egy-egy értelmû leképezés, akkor bijekció is van köztük. Ennek ismeretében néha technikailag könnyebben tudunk ekvivalenciát igazolni. A fenti feladatban szereplõ halmazok mindegyike kontinuum számosságú.

Feladat: Adjunk egy-egy értelmû leképezéseket a következõ halmazok között:

1. valós számok,
2. valós számpárok,
3. a sík egyenesei,
4. a sík pontjai,
5. a sík körlapjai,
6. a sík háromszögei.

Feladat: A sík egész koordinátájú pontjainak valamelyikén egy nyúl van. Tudjuk, hogy a nyúl egyenletes vonalú egyenletes ugrálást végez. Mozgását egy v egész koordinátájú sebességvektor írja le. Minden óraütésnél a nyúl hozzáadja v-t a jelenlegi pozíciójához és odaugrik. Egy vadász csak a fentieket tudja a nyúlról (v-t, vagy kezdõpozícióját nem ismeri). Minden óraütésnél az egyik egész koordinátájú pontra rálõhet. Ajánlhatunk-e neki olyan lövési stratégiát, amivel biztos eltalálja a nyulat?

Feladat: Az U halmaz bizonyos részhalmazainak halmazát Boole-algebrának hívjuk, ha zárt az unió, metszet és komplementer képzésre. (Ilyen például az összes részhalmaz halmaza.)

• Legyen H az U bizonyos részhalmazainak egy halmaza. Igazoljuk, hogy van olyan H⁺ Boole-algebra, ami tartlmazza H elemeit és ezen feltételek mellett a legszûkebb.
• Tegyük fel H-ról, hogy megszámlálható halmaz. A fenti pont alapján egyértelmûen leírt H⁺ Boole-algebra megszámlálható elemszámú.

Feladat: Egy G csoport minden R részhalmazához van olyan részcsoport, ami R-et tartalmazza és ezen tulajdonságok mellett a legszûkebb. Ez az R által generált részcsoport. Igazoljuk, hogy ha R megszámlálható, akkor a generált részcsoport is az.

Feladat: H a természetes számok halmazának bizonyos részhalmazait tartalmazza. Az alábbiakban H-ra vonatkozó tulajdonságokat írunk le. Milyen sok eleme lehet H-nak a megfelelõ feltétel teljesülése esetén?

1. H elemei végesek.
2. H elemei végtelenek.
3. H elemei páronként diszjunktak.
4. H elemei páronként tartalmazkodóak. (Két halmaz tartalmazkodó, ha egyik a másik részhalmaza.)
5. H elemei páronként majnem diszjunktak. (Két halmaz majdnem diszjunkt, ha véges sok közös elemük van.)
6. H bármely két különbözõ elemének legfeljebb 2010 közös eleme van.
7. H bármely két különbözõ elemére teljesül, hogy metszete és mindkét irányú különbsége végtelen.

Feladat: Egy cirkalmas T betû legyen három közös végponttal rendelkezõ, de különben diszjunkt "szép" folytonos görbe ponthalmaza. Hány cirkalmas T betût tudunk elhelyezni a síkra, ha csak arra vigyázunk, hogy páronként diszjunktak legyenek? (Válaszunk persze függhet a szépség definíciójától.)