Ekvivalencia, megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosságú halmazok II

Feladat:

1. Igazoljuk, hogy két megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója is megszámlálhatóan végtelen.
2. Igazoljuk, hogy megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója is megszámlálhatóan végtelen.

Feladat:

1. Igazoljuk, hogy két kontinuum számosságú halmaz uniója is kontinuum számosságú.
2. Igazoljuk, hogy kontinuum sok kontinuum számosságú halmaz uniója is kontinuum számosságú.

Feladat: Legyen I egy végtelen halmaz. Ekkor

1. I U {u} ~ I.
2. I U M ~ I, ahol M egy megszámlálható halmaz.

Feladat: Bizonyítsuk be, hogy

1. Tegyük fel, hogy A₁~A₂ és B₁~B₂. Ekkor A₁× B₁ ~ A₂× B₂,
2. A× B ~ B× A,
3. A× (B× C) ~ (A× B)× C,
4. A× (B U C) = (A×B) U (A× C),

Definíció: A, B, C halmazok esetén A× B× C={(a,b,c): a A egy eleme, b B egy eleme, c C egy eleme}

A₁, A₂,..., A_n halmazok esetén A₁× A₂×...×A_n = {(a₁,a₂,...,a_n): a_i A_i egy eleme i=1,2,...,n esetén}

Jelölés: A és B halmazok esetén legyen

Feladat:

1. Tegyük fel, hogy A₁~A₂ és B₁~B₂. Ekkor ^A₁B₁ ~ ^A₂B₂,
2. ^A(B× C)~^AB×^AC,
3. ^A×BC~ ^A(^BC)

Feladat: Definiáljuk a síkra írt T betût.

Hány T betût tudunk elhelyezni a síkra, ha csak arra vigyázunk, hogy páronként diszjunktak legyenek? (Válaszunk persze függ a definíciónktól. Egy megoldás esetén módosíthatjuk definíciónkat úgy, hogy megoldásunk ötlete ne múködjön és a módosított definícióval újból gondolkozhatunk a második kérdésen.)