Ekvivalencia, megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosságú halmazok

 

Feladat: Adjunk bijekciót az alábbi halmazok között:

Definíció: Az előző feladatban szerepő halmazok és azok, amik itt szereplhetnének a megszámlálhatóan végtelen halmazok. Tehát H megszámlálhatóan végtelen, ha a természetes számok halmazával ekvivalens.

Definíció: Egy H halmaz megszámlálható, ha véges vagy megszámlálhatóan végtelen.

Definíció: Először egy {Cn} halmazsorozatot definiálunk. C0=[0,1]. Megelőlegezzük, hogy mindegyik Ci véges sok diszjunkt zárt intervallum uniója (a definíció része, hogy ezt ellenőrizzük mikor lezárul a leírás!). Ci+1 legyen az a halmaz, amit Ci-ből úgy kapunk,hogy diszjunkt zárt intervallumok uniójaként felírva, minden zárt intervallumból elhagyjuk, a középső nyilt harmadát. Például

C1=[0,1/3]U[2/3,1], C2=[0,1/9]U[2/9,1/3]U[2/3,7/9]U[8/9,1].

Legyen C a Cantor-halmaz a Ci halmazok (i=0,1,2,,3,...) metszete.

Feladat: Adjunk bijekciót az alábbi halmazok között:

Definíció: Az előző feladatban szerepő halmazok és azok, amik itt szereplhetnének a kontinuum számosságú halmazok. Tehát H kontinuum számosságú, ha a valós számok halmazával ekvivalens.

Feladat:

  1. Definiáljuk a síkon az O betűt, mint egy zárodó, folytonos, önmagát nem metsző görbe. Két O betű diszjunkt, ha mint görbék ponthalmaza diszjunkt. Hány O betűt tudunk elhelyezni a síkra, ha csak arra vigyázunk, hogy páronként diszjunktak legyenek?
  2. Definiáljuk a 8-as számjegyet a fenti feladat mintájára. Hány 8-ast tudunk elhelyezni a síkra, ha csak arra vigyázunk, hogy páronként diszjunktak legyenek?