MBN111E

Lineáris algebra előadás

2014-2015. tanév, őszi félév


2014. szept. 2. (105 perc)

2014. szept. 9. (105 perc)

2014. szept. 16. (105 perc)

2014. szept. 23. (105 perc)

2014. szept. 30. (105 perc)

2014. okt. 7. (105 perc)

2014. okt. 14. (105 perc)

2014. okt. 21. (105 perc)

2014. okt. 28. (105 perc)

2014. nov. 4. (105 perc)

2014. nov. 11. (105 perc)

2014. nov. 18. (elmarad)

2014. nov. 25. (elmarad)

2014. dec. 2. (105 perc)







2014. szept. 2. (105 perc)

Ismétlés

A geometriai transzformáció, speciálisan az egybevágósági transzformáció és a hasonlósági transzformáció, valamint a merőleges vetítés fogalma. Speciális transzformációk a síkon és a térben: tengelyes tükrözés egyenesre, illetve síkra, középpontos tükrözés, középpont, illetve egyenes körüli forgatás, eltolás, középpontos hasonlóság, merőleges vetítés egyenesre, illetve síkra, példák. A vektor fogalma, műveletek vektorokkal. Tétel: (a) Ha v1 nemnulla vektor, akkor minden vele párhuzamos vektor előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1 alakban, ahol λ1 valós szám. (b) Ha v1, v2 nempárhuzamos vektorok a síkon, akkor a sík minden vektora előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1+ λ2v2 alakban, ahol λ1, λ2 valós szám. (c) Ha v1, v2, v3 olyan vektorok a térben, melyek nincsenek egy síkban, akkor a tér minden vektora előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1+ λ2v2+ λ3v3 alakban, ahol λ1, λ2, λ3 valós szám. Vektorok belső szorzata, két nempárhuzamos vektor által meghatározott paralelogramma területe és általánosítása a térben (szorgalmi feladat). Egyenes irányvektora és normálvektora a síkon, egyenes egyenlete a síkon; sík normálvektora és egyenes irányvektora a térben, sík egyenlete, egyenes megadása a térben.

Házi feladat: 1.1.(d)-(f), 1.3.(b), 1.5.(b), 1.7.(c)-(d), 1.8.(c)-(d).

2014. szept. 9. (105 perc)

Mátrixok és determinánsok

Skalármennyiségek – testek, pl. R, Q, Z2, Z3, számolás az utóbbiakban. A szumma- és produktum-jel használata, példák. A mátrixokkal kapcsolatos alapfogalmak. Mátrixműveletek (skalárral való szorzás, összeadás, szorzás) és tulajdonságaik. Mátrix transzponáltja és kapcsolata a mátrixműveletekkel.

Négyzetes mátrix determinánsának (n-edrendű determináns értékének) rekurzív definíciója adott elemekhez tartozó komplementer, illetve adjungált aldeterminánsok segítségével. Példák: másod- és harmadrendű determináns, alsó trianguláris (speciálisan diagonális) mátrix determinánsa.

Házi feladat: 2.1.(c),(f), 2.3.(c), 2.4.(b), 2.5.(b),(c), 2.7.(c)-(d).

2014. szept. 16. (105 perc)

Ha egy determináns két sorát megcseréljük, értéke -1-szeresére változik. Ha egy determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke 0. Kifejtési tétel (sorokra). A determináns soraira vonatkozó további tulajdonságok. A determináns mint előjeles térfogat, két síkbeli vektor által meghatározott paralelogramma területe, két térbeli vektor által meghatározott paralelepipedon térfogata. Négyzetes mátrix és transzponáltjának determinánsa egyenlő, dualitási elv és következményei. Példa determináns kiszámítására a tanult tulajdonságok alapján. Vandermonde-determináns.

Házi feladat: 3.1.(c),(f),(h),(i), 3.2.(c),(e),(f), 3.3.(b),(e),(f), 3.4.(b), 3.5.(b), 3.8.(b)

2014. szept. 23. (105 perc)

A ferde kifejtés tétele. Az n-edrendű determináns r-edrendű aldeterminánsai, azok komplementer aldeterminánsa és adjungált aldeterminánsa. Laplace-tétel, determináns kifejtése több sora (oszlopa) szerint, példa. A determinánsok szorzástétele. A mátrix inverzének fogalma, egyértelműsége. Mátrix inverzének, mátrixok szorzatának és mátrix transzponáltjának inverze. Egy mátrixnak pontosan akkor van inverze, ha determinánsa nem 0. Az elfajuló és nemelfajuló mátrix fogalma, példa mátrix inverzének megadására. Mátrixok hasonlóságának fogalma. A hasonlósági reláció ekvivalencia. Hasonló mátrixok determinánsa egyenlő.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze

A test feletti lineáris egyenletrendszer fogalma; lineáris egyenletrendszer mátrixa, bővített mátrixa. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja.

Házi feladat: 4.1.(a),(c),(d),(g),(h),(j), 4.2.(b), 4.3.(b), 4.4.(b), 4.5.(f), 4.6.(e),(f), 4.7.(e)

2014. szept. 30. (105 perc)

Lineáris egyenletrendszer vektoros alakja. Lineáris egyenletrendszer megoldása, megoldható, illetve ellentmondó lineáris egyenletrendszerek. A szabályos lineáris egyenletrendszer fogalma, Cramer-szabály. A lineáris egyenletrendszerek ekvivalenciája. Lineáris egyenletrendszerek elemi átalakításai, mátrixok sorain végzett elemi átalakítások és kapcsolatuk. A lépcsős alakú mátrix, illetve lineáris egyenletrendszer. Minden nemzérus mátrix, illetve minden olyan lineáris egyenletrendszer, melyben valamelyik együttható vagy konstans nem 0, lépcsős alakra hozható véges sok elemi átalakítással. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval; kötött és szabad ismeretlenek, általános megoldás, a megoldások száma. A Gauss-elimináció alkalmazása mátrixegyenletek megoldására, speciálisan mátrix inverzének kiszámítására. Példák.

Házi feladat: 5.1.(c),(d),(f),(g), 5.2.(d),(e),(f), 5.3.(c),(d),(f), 5.4.(c),(f), 5.5.(c),(e),(f), 5.6.(b),(d).

2014. okt. 7. (105 perc)

A homogén lineáris egyenletrendszer, illetve a lineáris egyenletrendszerhez tartozó homogén lineáris egyenletrendszer fogalma. A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, illetve a lineáris egyenletrendszer és a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak kapcsolata.

Vektortér, altér, generálás

A vektortér fogalma, példák, alapvető összefüggések, számolási szabályok vektorterekben. Az altér fogalma, az alteret alkotó részhalmazok jellemzése, példák. Minden homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak. Példák alterekre, homogén lineáris egyenletrendszerrel megadott alterek Tn-ben. Vektorok lineáris kombinációja. A részhalmaz által generált altér fogalma és tulajdonságai, az „altérnek lenni” reláció ellenőrzése véges sok vektor által generált alterek esetében. Generátorrendszer módosítása elemi átalakítással. Generátorrendszer megadása homogén lineáris egyenletrendszerrel definiált alterekben, és fordítva, definiáló homogén lineáris egyenletrendszer megadása véges sok vektorral generált alterekhez. Példák.

Házi feladat: 6.1.(a),(h), 6.2.(c),(d),(f), 6.3.(c), 6.4.(f),(i),(k), 6.5.(d),(f), 6.6.(e),(f).

2014. okt. 14. (105 perc)

Alterek metszete altér, méghozzá a legbővebb altér, amely benne van az eredeti alterek mindegyikében. Alterek összegének definíciója, alterek összege altér, méghozzá a legszűkebb altér, amely tartalmazza az eredeti alterek mindegyikét. A Tn vektortér végesen generált altereinek metszete és összege.

Lineárisan független és lineárisan függő vektorrendszerek, vektortér dimenziója

A vektorrendszer fogalma, két vektorrendszer ekvivalenciája. Vektorrendszer elemi átalakításai, az elemi átalakítással kapott vektorrendszer ekvivalens az eredetivel. A lineárisan független és a lineárisan függő vektorrendszer fogalma. Lineárisan független vektorrendszer minden részrendszere lineárisan független, és minden vektorrendszer lineárisan függő, amelynek van lineárisan függő részrendszere. A lineárisan függő vektorrendszerek, illetve a lineárisan független vektorrendszerek jellemzései, példák. Lineárisan független vektorrendszer által generált altér elemei egyértelműen állnak elő a generátorelemek lineáris kombinációjaként. Kicserélési tétel és következménye. A véges dimenziós vektortér és a bázis fogalma.

2014. okt. 21. (105 perc)

Minimális generátorrendszer és maximális lineárisan független vektorrendszer véges dimenziós vektorterekben, kapcsolatuk a bázisokkal. Lineárisan független vektorrendszerek kiegészítése bázissá, bázis kiválasztása generátorrendszerből; bázis létezése és elemszáma. A véges dimenziós vektortér dimenziója, példák véges dimenziós vektorterekre és bennük lineárisan független vektorrendszer bázissá kiegészítésére . Következmény: Lineáris egyenletrendszer minden általános megoldásában ugyanannyi kötött ismeretlen van (és így szabad is). Vektor koordinátasora adott bázisban. A véges dimenziós vektortér --- pl. Tn --- minden altere véges dimenziós. Az alterek dimenziótétele. Vektorrendszer rangja, kapcsolat a vektorrendszer által generált altér dimenziójával, illetve a vektorrendszer maximális lineárisan független részrendszereivel. Módszerek vektorrendszer rangjának kiszámítására.

Házi feladat: 6.7.(d),(e), 7.1.(b),(e),(f), 7.2.(d),(f), 7.3.(g),(l), 7.4.(e), 7.5.(c), 7.6.(d), 7.7.(e)

2014. okt. 28. (105 perc)

Példák. A két módszer összehasonlítása a sorokon végzett elemi átalakításokat két olyan mátrixon hajtjuk végre, amelyek egymás transzponáltjai. Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja. Mátrixok rangszámtétele; a sor- és oszloprangok egyenlősége következik a vektorrendszer rangjának kiszámítására tanult két módszer összehasonlításából. Mátrix rangja. Négyzetes mátrix rangja és determinánsa, szorzatmátrix és a tényezők rangja. Példa mátrixrang kiszámítására és annak alkalmazására vektorrendszerekre vonatkozó kérdések esetében. Kronecker–Capelli-tétel.

Lineáris leképezések és transzformációk

A lineáris leképezés, lineáris transzformáció és a vektortér-izomorfizmus fogalma. Lineáris leképezés magja (magtere), képtere. Példák, többek között tetszőleges T test feletti mxn-es A matrix esetén a Hom(Tm,Tn)-beli fiA leképezés, amelyre vfiA = vA. Lineáris leképezések alaptulajdonságai. A lineáris leképezések dimenziótétele és következménye a véges dimenziós vektorterek injektív és szürjektív lineáris transzformációira. Lineáris leképezések szorzata és inverze (ha létezik) lineáris. Vektorterek izomorfiája. Minden T test feletti n-dimenziós vektortér izomorf a Tn vektortérrel. Példák.

Házi feladat: 8.1.(c),(d),(g), 8.2.(b),(e),(j),(k), 8.3.(a),(c), 8.4.[8.3.(c)-re vonatkozóan], 8.5.(f),(g),(h), 8.6.(e),(f)

2014. nov. 4. (105 perc)

Lineáris leképezés rangja, példák. Lineáris leképezések összege, a Hom(U,V) vektortér. Lineáris leképezés mátrixa rögzített bázisokban (transzformáció esetén bázisban), példák. A képvektor koordinátasorának kiszámítására a vektor koordinátasora és a mátrix ismeretében. Kapcsolat a lineáris leképezések összege, skalárszorosa, szorzata és adott bázis(ok)ban felírt mátrixaik összege, skalárszorosa, szorzata között. Ha a T test feletti U,V vektorterek rendre m-,n-dimenziósak, akkor a Hom(U,V) vektortér izomorf Tmxn-nel. Az áttérés mátrixa egyik bázisról a másikra, példák. Mátrixok hasonlóságának kapcsolata a lineáris transzformációkkal. Lineáris leképezés és mátrixainak rangja.

Házi feladat: 9.1.(c),(e),(f), 9.2.(c),(f), 9.3.(c),(d), 9.4.(e),(h),(l),(p), 9.5.[9.4.(e),(h)-ra], 9.6.(c),(f), 9.7.(c),(i),(j)

2014. nov. 11. (105 perc)

Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértéke, sajátvektora és sajátaltere. Mátrixok karakterisztikus polinomja. Egy T test feletti mátrix sajátértékei éppen a mátrix karakterisztikus polinomjának T-beli gyökei. Mátrixok sajáértékeinek és sajátaltereinek kiszámítása. Hasonló mátrixok karakterisztikus polinomja azonos. Lineáris transzformáció karakterisztikus polinomját úgy definiáljuk mint valamely (bármely) mátrixának karakterisztikus polinomját. Hasonló mátrixoknak azonosak a sajátértékei, és egyenlő az egyes sajátértékekhez tartozó sajátaltereik dimenziója. Egy lineáris transzformáció mátrixa pontosan akkor diagonális egy bázisban, ha ez a bázis a lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll. Ilyen bázisban a diagonális mátrix főátlójában a lineáris transzformációnak az egyes báziselemekhez tartozó sajátértékei állnak. A diagonális mátrixhoz hasonló mátrixok jellemzése.

Bilineáris leképezések és kvadratikus alakok

A bilineáris leképezések, mátrixuk adott bázisban. Szimmetrikus bilineáris leképezések, és jellemzésük mátrixaikkal. Kvadratikus alak származtatása szimmetrikus bilineáris alakból, e bilineáris alak egyértelműsége. Kvadratikus alak mátrixa adott bázisban, kapcsolat a különböző bázisbeli mátrixok között. Kvadratikus alak rangja. Kanonikus alakú kvadratikus alak. A kvadratikus alakok kanonikus alakra hozására vonatkozó tétel, és annak megfelelője szimmetrikus mátrixokra.

Házi feladat: 10.1.(d),(f),(h), 10.2.(a),(c),(g), 10.3.[(F),(K),(P),(R),(U)], 10.4.(a)[(2),(4),(6)],(b)[(F),(K),(P),(R),(U)], 10.5.(d),(f), 10.6.(d),(f), 10.7.[(F),(K),(P),(R)]

2014. nov. 18. (elmarad)

2014. nov. 25. (elmarad)



2014. dec. 2. (14.45: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT)

A bilineáris leképezések (számtestek felett), a szimmetrikus bilineáris leképezések és mátrixaik. Kvadratikus alakok, a szimmetrikus bilineáris leképezések, melyekből származnak és mátrixaik. Kvadratikus alak rangja. Kvadratikus alak koordinátás alakja, kanonikus alakú kvadratikus alak. Minden kvadratikus alak nemelfajuló lineáris helyettesítéssel kanonikus alakra hozható. (Ezzel ekvivalens: minden szimmetrikus A mátrixhoz létezik olyan nemelfajuló S mátrix, amelyre SAST diagonális.) Valós kvadratikus alak normálalakja létezik és egyértelműen meghatározott. A pozitív, illetve negatív (szemi)definit, valamint az indefinit kvadratikus alakok és normálalakjuk. A pozitív definit kvadratikus alakok mátrixainak jellemzése főminoraikkal.



Vissza az elejére