MBN111E

Lineáris algebra előadás

2014-2015. tanév, őszi félév


2014. szept. 2. (105 perc)

2014. szept. 9. (105 perc)

2014. szept. 16. (105 perc)

2014. szept. 23. (105 perc)

2014. szept. 30. (105 perc)

2014. okt. 7. (105 perc)

2014. okt. 14. (105 perc)

2014. okt. 21. (105 perc)

2014. okt. 28. (105 perc)

2014. nov. 4. (105 perc)

2014. nov. 11. (105 perc)

2014. nov. 18. (elmarad)

2014. nov. 25. (elmarad)

2014. dec. 2. (105 perc)







2014. szept. 2. (105 perc)

Ismétlés

A geometriai transzformáció, speciálisan az egybevágósági transzformáció és a hasonlósági transzformáció, valamint a merőleges vetítés fogalma. Speciális transzformációk a síkon és a térben: tengelyes tükrözés egyenesre, illetve síkra, középpontos tükrözés, középpont, illetve egyenes körüli forgatás, eltolás, középpontos hasonlóság, merőleges vetítés egyenesre, illetve síkra, példák. A vektor fogalma, műveletek vektorokkal. Tétel: (a) Ha v1 nemnulla vektor, akkor minden vele párhuzamos vektor előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1 alakban, ahol λ1 valós szám. (b) Ha v1, v2 nempárhuzamos vektorok a síkon, akkor a sík minden vektora előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1+ λ2v2 alakban, ahol λ1, λ2 valós szám. (c) Ha v1, v2, v3 olyan vektorok a térben, melyek nincsenek egy síkban, akkor a tér minden vektora előáll, mégpedig egyértelműen, λ1v1+ λ2v2+ λ3v3 alakban, ahol λ1, λ2, λ3 valós szám. Vektorok belső szorzata, két nempárhuzamos vektor által meghatározott paralelogramma területe és általánosítása a térben (szorgalmi feladat). Egyenes irányvektora és normálvektora a síkon, egyenes egyenlete a síkon; sík normálvektora és egyenes irányvektora a térben, sík egyenlete, egyenes megadása a térben.

Házi feladat: 1.1.(d)-(f), 1.3.(b), 1.5.(b), 1.7.(c)-(d), 1.8.(c)-(d).

2014. szept. 9. (105 perc)

Mátrixok és determinánsok

Skalármennyiségek – testek, pl. R, Q, Z2, Z3, számolás az utóbbiakban. A szumma- és produktum-jel használata, példák. A mátrixokkal kapcsolatos alapfogalmak. Mátrixműveletek (skalárral való szorzás, összeadás, szorzás) és tulajdonságaik. Mátrix transzponáltja és kapcsolata a mátrixműveletekkel.

Négyzetes mátrix determinánsának (n-edrendű determináns értékének) rekurzív definíciója adott elemekhez tartozó komplementer, illetve adjungált aldeterminánsok segítségével. Példák: másod- és harmadrendű determináns, alsó trianguláris (speciálisan diagonális) mátrix determinánsa.

Házi feladat: 2.1.(c),(f), 2.3.(c), 2.4.(b), 2.5.(b),(c), 2.7.(c)-(d).

2014. szept. 16. (105 perc)

Ha egy determináns két sorát megcseréljük, értéke -1-szeresére változik. Ha egy determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke 0. Kifejtési tétel (sorokra). A determináns soraira vonatkozó további tulajdonságok. A determináns mint előjeles térfogat, két síkbeli vektor által meghatározott paralelogramma területe, két térbeli vektor által meghatározott paralelepipedon térfogata. Négyzetes mátrix és transzponáltjának determinánsa egyenlő, dualitási elv és következményei. Példa determináns kiszámítására a tanult tulajdonságok alapján. Vandermonde-determináns.

Házi feladat: 3.1.(c),(f),(h),(i), 3.2.(c),(e),(f), 3.3.(b),(e),(f), 3.4.(b), 3.5.(b), 3.8.(b)

2014. szept. 23. (105 perc)

A ferde kifejtés tétele. Az n-edrendű determináns r-edrendű aldeterminánsai, azok komplementer aldeterminánsa és adjungált aldeterminánsa. Laplace-tétel, determináns kifejtése több sora (oszlopa) szerint, példa. A determinánsok szorzástétele. A mátrix inverzének fogalma, egyértelműsége. Mátrix inverzének, mátrixok szorzatának és mátrix transzponáltjának inverze. Egy mátrixnak pontosan akkor van inverze, ha determinánsa nem 0. Az elfajuló és nemelfajuló mátrix fogalma, példa mátrix inverzének megadására. Mátrixok hasonlóságának fogalma. A hasonlósági reláció ekvivalencia. Hasonló mátrixok determinánsa egyenlő.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze

A test feletti lineáris egyenletrendszer fogalma; lineáris egyenletrendszer mátrixa, bővített mátrixa. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja.

Házi feladat: 4.1.(a),(c),(d),(g),(h),(j), 4.2.(b), 4.3.(b), 4.4.(b), 4.5.(f), 4.6.(e),(f), 4.7.(e)

2014. szept. 30. (105 perc)

Lineáris egyenletrendszer vektoros alakja. Lineáris egyenletrendszer megoldása, megoldható, illetve ellentmondó lineáris egyenletrendszerek. A szabályos lineáris egyenletrendszer fogalma, Cramer-szabály. A lineáris egyenletrendszerek ekvivalenciája. Lineáris egyenletrendszerek elemi átalakításai, mátrixok sorain végzett elemi átalakítások és kapcsolatuk. A lépcsős alakú mátrix, illetve lineáris egyenletrendszer. Minden nemzérus mátrix, illetve minden olyan lineáris egyenletrendszer, melyben valamelyik együttható vagy konstans nem 0, lépcsős alakra hozható véges sok elemi átalakítással. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval; kötött és szabad ismeretlenek, általános megoldás, a megoldások száma. A Gauss-elimináció alkalmazása mátrixegyenletek megoldására, speciálisan mátrix inverzének kiszámítására. Példák.

Házi feladat: 5.1.(c),(d),(f),(g), 5.2.(d),(e),(f), 5.3.(c),(d),(f), 5.4.(c),(f), 5.5.(c),(e),(f), 5.6.(b),(d).

2014. okt. 7. (105 perc)

A homogén lineáris egyenletrendszer, illetve a lineáris egyenletrendszerhez tartozó homogén lineáris egyenletrendszer fogalma. A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, illetve a lineáris egyenletrendszer és a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak kapcsolata.

Vektortér, altér, generálás

A vektortér fogalma, példák, alapvető összefüggések, számolási szabályok vektorterekben. Az altér fogalma, az alteret alkotó részhalmazok jellemzése, példák. Minden homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alteret alkotnak. Példák alterekre, homogén lineáris egyenletrendszerrel megadott alterek Tn-ben. Vektorok lineáris kombinációja. A részhalmaz által generált altér fogalma és tulajdonságai, az „altérnek lenni” reláció ellenőrzése véges sok vektor által generált alterek esetében. Generátorrendszer módosítása elemi átalakítással. Generátorrendszer megadása homogén lineáris egyenletrendszerrel definiált alterekben, és fordítva, definiáló homogén lineáris egyenletrendszer megadása véges sok vektorral generált alterekhez. Példák.

Házi feladat: 6.1.(a),(h), 6.2.(c),(d),(f), 6.3.(c), 6.4.(f),(i),(k), 6.5.(d),(f), 6.6.(e),(f).

2014. okt. 14. (105 perc)

Alterek metszete altér, méghozzá a legbővebb altér, amely benne van az eredeti alterek mindegyikében. Alterek összegének definíciója, alterek összege altér, méghozzá a legszűkebb altér, amely tartalmazza az eredeti alterek mindegyikét. A Tn vektortér végesen generált altereinek metszete és összege.

Lineárisan független és lineárisan függő vektorrendszerek, vektortér dimenziója

A vektorrendszer fogalma, két vektorrendszer ekvivalenciája. Vektorrendszer elemi átalakításai, az elemi átalakítással kapott vektorrendszer ekvivalens az eredetivel. A lineárisan független és a lineárisan függő vektorrendszer fogalma. Lineárisan független vektorrendszer minden részrendszere lineárisan független, és minden vektorrendszer lineárisan függő, amelynek van lineárisan függő részrendszere. A lineárisan függő vektorrendszerek, illetve a lineárisan független vektorrendszerek jellemzései, példák. Lineárisan független vektorrendszer által generált altér elemei egyértelműen állnak elő a generátorelemek lineáris kombinációjaként. Kicserélési tétel és következménye. A véges dimenziós vektortér és a bázis fogalma.

2014. okt. 21. (105 perc)

Minimális generátorrendszer és maximális lineárisan független vektorrendszer véges dimenziós vektorterekben, kapcsolatuk a bázisokkal. Lineárisan független vektorrendszerek kiegészítése bázissá, bázis kiválasztása generátorrendszerből; bázis létezése és elemszáma. A véges dimenziós vektortér dimenziója, példák véges dimenziós vektorterekre és bennük lineárisan független vektorrendszer bázissá kiegészítésére . Következmény: Lineáris egyenletrendszer minden általános megoldásában ugyanannyi kötött ismeretlen van (és így szabad is). Vektor koordinátasora adott bázisban. A véges dimenziós vektortér --- pl. Tn --- minden altere véges dimenziós. Az alterek dimenziótétele. Vektorrendszer rangja, kapcsolat a vektorrendszer által generált altér dimenziójával, illetve a vektorrendszer maximális lineárisan független részrendszereivel. Módszerek vektorrendszer rangjának kiszámítására.

Házi feladat: 6.7.(d),(e), 7.1.(b),(e),(f), 7.2.(d),(f), 7.3.(g),(l), 7.4.(e), 7.5.(c), 7.6.(d), 7.7.(e)

2014. okt. 28. (105 perc)



2014. nov. 4. (105 perc)



2014. nov. 11. (105 perc)



2014. nov. 18. (elmarad)



2014. nov. 25. (elmarad)



2014. dec. 2. FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT







Vissza az elejére