Alkalmazott algebra előadás

2015-2016. tanév, tavaszi félév


2016. febr. 2, 4.

2016. febr. 9, 11.

2016. febr. 16, 18.

2016. febr. 23, 25.

2016. márc. 1, 3.

2016. márc. 8, 10.

2016. márc. 17.

2016. márc. 22, 24.

2016. ápr. 5, 7.

2016. ápr. 12, 14.

2016. ápr. 19, 21.

2016. ápr. 26, 28.

2016. máj. 3, 5.

2016. máj. 10, 12.







2016. febr. 2, 4. (100 + 50 perc)

Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.

Csoportok

A művelet fogalma, műveleti tulajdonságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, egységelem, zéruselem, elem inverze. Multiplikatív és additív írásmód. Csoport fogalma. Példák (többek között): szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok.

Magasabb lineáris algebra

Konvenciók (jobbról írás, bázisáttérés mátrixa, jelölések Szabó László jegyzete alapján). A Lineáris algebra tárgyból szükséges legalapvetőbb ismeretek átismétlése.

Emlékeztető: alterek összegének definíciója, U1+...+Uk a legszűkebb olyan altér, amely tartalmazza U1,...,Uk-t. Definíció: A V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege, ha V minden eleme egyértelműen előáll U1,...,Uk-beli vektorok összegeként. Példák.

2016. febr. 9, 11. (105 + 50 perc)

Invertálhatóság, csoport alternatív definíciója. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód.

A mozgatott elemek halmaza. A ciklus fogalma. Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként.

Tétel: Bármely V véges dimenziós vektortér tetszőleges U1,...,Uk altereire ekvivalensek a következők: (1) a V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege; (2) az U1,...,Uk alterek tetszőleges E1,...,Ek bázisaira az utóbbiak összessége bázis V-ben; (3) az U1,...,Uk altereknek van olyan E1,...,Ek bázisa, amelyre az utóbbiak összessége bázis V-ben; (4) V= U1+...+Uk, és tetszőleges i>1 indexre Ui és U1+...+Ui-1 metszete triviális.

A lineáris transzformációk, illetve négyzetes mátrixok sajátértékeivel, sajátvektoraival és karakterisztikus polinomjával kapcsolatos alapfogalmak és összefüggések átismétlése. Lineáris transzformáció, illetve mátrix sajátaltereinek fogalma. Egy vektortér lineáris transzformációjának mátrixa pontosan akkor diagonális egy adott bázisban, ha a bázis a lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll, és ez ekvivalens azzal is, hogy a vektortér előáll a lineáris transzformáció sajátaltereinek direkt összegeként.

2016. febr. 16, 18. (105 + 50 perc)

Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.

Elem rendje és tulajdonságai. Az n-edfokú szimmetrikus csoport elemeinek rendje. A részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport.

(bizonyítás befejezése) Ebben az esetben a báziselemek közül pontosan annyi tartozik a c sajátértékhez, amennyi a c-hez tartozó sajátaltér dimenziója. Továbbá ez a szám megegyezik a sajátérték multiplicitásával a karakterisztikus polinomban.

Az euklideszi tér fogalma, az Rn euklideszi tér (a standard belső szorzással). Bunyakovszkij-Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség, nemnulla vektorok szöge, ortogonális (v. merőleges) vektorok.

2016. febr. 23, 25. (105 + 50 perc)

Részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel. Csoport generátorrendszere. Példák: Z, Zn, Dn, Sn és An néhány generátorrendszere. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.

Az izomorfizmus fogalma. Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. A homomorf kép fogalma. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje.

Euklideszi tér minden altere euklideszi tér. Vektor, illetve altér ortogonális komplementuma; ortogonális, illetve ortonormált vektorrendszerek fogalma és lineáris függetlenségük. Minden euklideszi térben van ortonormált bázis. Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás. Euklideszi tér minden ortonormált vektorrendszere kiegészíthető ortonormált bázissá. Minden euklideszi tér előáll bármely alterének és ortogonális komplementumának direkt összegeként; altér ortogonális komplementumának ortogonális komplementuma az eredeti altér.

2016. márc. 1, 3. (105 + 50 perc)

Minden GH homomorfizmus képhalmaza részcsoport H-ban, és így G homomorf képe is. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész). Permutációcsoportok, Cayley-tétel.

A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen. Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint (végtelen csoport esetén csak megemlítve). A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.

Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma.

Minden n dimenziós euklideszi tér izomorf az Rn euklideszi térrel (standard belső szorzás). Lineáris leképezés adjungáltjának létezése és egyértelműsége, kapcsolat a lineáris leképezés és adjungáltjának mátrixa között adott ortonormált bázisokban. Az önadjungált lineáris transzformáció fogalma. Egy lineáris transzformáció pontosan akkor önadjungált, ha valamely [minden] ortonormált bázisban szimmetrikus a mátrixa. Az ortogonális lineáris transzformáció fogalma: olyan lineáris transzformáció, amely „megőrzi” a normát. Minden ortogonális transzformáció bijektív, és „megőrzi” a belső szorzatot, azaz az euklideszi tér izomorfizmusa önmagára.

2016. márc. 8, 10. (105 + 50 perc)

Elem és részhalmaz konjugáltjának, ill. részhalmaz konjugálásra való zártságának fogalma. A konjugáltsági reláció. A konjugáltsági osztályok Sn-ben. Normálosztók metszete normálosztó, részhalmaz által generált normálosztó, a generált normálosztó megadása a generátorelemekkel, példák. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma, kapcsolatuk, példák. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma.

A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma. Homomorfizmus magja normálosztó. A mag szerinti minden egyes mellékosztály összes eleméhez a homomorfizmus ugyanazt az elemet rendeli, és különböző mellékosztályokhoz különböző elemeket rendel. A csoportelméleti homomorfiatétel.

Az ortogonális transzformációk további jellemzései (a lineáris transzformációk között): ortonormált vektorrendszert ugyanilyenbe visznek, ortonormált bázist ugyanilyenbe visznek, adjungáltjuk megegyezik az inverzükkel. Az ortogonális transzformációk mátrixának jellemzése ortonormált bázisban. Az ortogonális mátrix fogalma. Valós szimmetrikus mátrix karakterisztikus polinomjának minden gyöke valós.

2016. márc. 17. (50 perc)

Főtengelytétel (lineáris transzformációs alak): Egy V euklideszi tér minden önadjungált lineáris transzformációja esetén van V-nek olyan ortonormált bázisa, amely az önadjungált lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll. (Az ilyen bázisban az önadjungált lineáris transzformáció mátrixa diagonális, a főátlóban az önadjungált lineáris transzformáció sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, mint a megfelelő sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban.) Spektráltétel: Legyen V euklideszi tér, rajta adott egy önadjungált lineáris transzformáció. Ekkor V előáll az önadjungált lineáris transzformáció páronként különböző sajátértékeihez tartozó sajátaltereinek direkt összegeként, és a sajátalterek páronként ortogonálisak. (Dimenziójuk a megfelelő sajátértékek multiplicitása a karakterisztikus polinomban.) Főtengelytétel (mátrixos alak): Bármely A valós szimmetrikus mátrixhoz van olyan Q valós ortogonális mátrix, amelyre a D=Q-1AQ mátrix diagonális. (Az ilyen Q mátrixok esetén D főátlójában A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, mint a megfelelő sajátérték multiplicitása A karakterisztikus polinomjában.) Főtengelytétel (kvadratikus alakokra): Egy V euklideszi téren értelmezett bármely q kvadratikus alakhoz létezik V-nek olyan ortonormált bázisa, amelyben q mátrixa diagonális [azaz amelyben q koordinátás alakja kanonikus]. (A mátrix főátlójában ekkor q bármely ortonormált bázisában felírt mátrixának sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi a megfelelő sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban.)

Az invariáns altér fogalma. Egy lineáris transzformáció mátrixa adott bázisban pontosan akkor blokkdiagonális szerkezetű, ha a blokkokhoz tartozó báziselemek invariáns alteret feszítenek ki, és a vektortér ezen alterek direkt összege.

2016. márc. 22, 24. (100 + 50 perc)

Homomorfizmus megadása G-ről H-ba G egy N normálosztója, H egy H' részcsoportja és egy G/N ---> H' izomorfizmus segítségével, példa.

Az egyszerű csoport fogalma. Az egyszerű Abel-csoportok. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül). A maximális normálosztó fogalma, kapcsolata az egyszerű csoportokkal. Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében.

Gyűrűk

A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).

A részgyűrű fogalma, jellemzése, példák. Az ideál fogalma, jellemzése. Homomorfizmus fogalma, alaptulajdonságok, példák.

Adott vektortér és lineáris transzformáció esetén a testelemekkel való szorzás kiterjesztése polinomokkal való szorzásra, számolási tulajdonságok. Az invariáns alterek éppen a polinomokkal való szorzásra zárt alterek. Adott v vektor által generált invariáns altér: <v>. Véges dimenziós vektortéren értelmezett lineáris transzformáció minimálpolinomjának fogalma.

2016. ápr. 5, 7. (100 + 50 perc)

Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmus inverze, izomorfia. Részgyűrűk metszete részgyűrű, részhalmaz által generált részgyűrű, a részhalmaz által generált részgyűrű megadása a részhalmaz elemeivel. Ideálok metszete ideál, részhalmaz által generált ideál, a részhalmaz által generált ideál megadása a részhalmaz elemeivel. A főideál fogalma, főideálok az egységelemes kommutatív gyűrűkben. Integritástartományokban oszthatósági tulajdonságok megadása főideálokkal. A főideálgyűrű fogalma, minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű, Z[x] nem főideálgyűrű. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai.

Vektor rendjének fogalma (adott lineáris transzformációra vonatkozóan), kapcsolata a sajátvektorokkal. A vektorrendekre érvényesek mindazok az alaptulajdonságok, amiket csoportelemek rendjére korábban láttunk. A minimálpolinom megegyezik az összes vektorrend legkisebb közös többszörösével. Alaptétel: Legyen V véges dimenziós vektortér a K test felett, melyen rögzítünk egy lineáris transzformációt. Ekkor V olyan <v1>, <v2>, … , <vs> invariáns alterek direkt összege, ahol v rendje K[x]-beli irreducibilis polinom hatványa. Továbbá az ilyen előállításokban fellépő rendek rendszere egyértelműen meghatározott. Speciális bázis megadása a <v> invariáns alterekben.

2016. ápr. 12, 14. (100 + 50 perc)

A faktorgyűrű fogalma. A természetes homomorfizmus. Az euklideszi gyűrűk faktorgyűrűi, számolás ezekben a faktorgyűrűkben.

Homomorfizmus magja. Homomorfizmus magja ideál. Minden egyes mag szerinti osztály összes eleméhez a homomorfizmus ugyanazt az elemet rendeli, és különböző osztályokhoz különböző elemeket rendel. Speciálisan egy homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha magja triviális. Homomorfiatétel. Kapcsolat a csoportelméleti homomorfiatétellel. Homomorfizmus megadása R-ről S-be R egy I ideálja, S egy S' részgyűrűje és egy R/I ---> S' izomorfizmus segítségével.

Az egyszerű gyűrű, ill. a maximális ideál fogalma, kapcsolatuk. Az egységelemes kommutatív egyszerű gyűrűk éppen a testek. Minden test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerű (bizonyítás nélkül).

Egy főideálgyűrű faktortestei éppen az irreducibilis elemek által generált főideálok szerinti faktorgyűrűk. Az egész számok gyűrűjének, ill. a test fölötti polinomgyűrűk faktortestei. Véges testek konstrukciója Zp[x] (p prím) faktortesteként, valamint a komplex számtest mint R[x] faktorteste. A K test fölötti polinomgyűrűk faktortestei mint a K testnél bővebb testek.

Test karakterisztikájának fogalma. Test karakterisztikája 0 vagy prímszám.

A lineáris transzformáció (megszorításának) mátrixa ebben a bázisban.

2016. ápr. 19, 21. (100 + 50 perc)

A Jordan-blokk és a Jordan-mátrix fogalma. Tétel (lineáris transzformációs alak): Minden lineáris transzformációhoz létezik olyan bázis a vektortérben, amelyben a lineáris transzformáció mátrixa Jordan-mátrix. Továbbá az ilyen Jordan-mátrix a blokkok sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Tétel (mátrixos alak): Minden négyzetes mátrix hasonló egy Jordan-mátrixhoz, és ez a Jordan-mátrix a Jordan-blokkok sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Neve: a mátrix Jordan-féle normálalakja. Példák: Jordan-mátrixok R és C felett. Egy négyzetes mátrix pontosan akkor diagonalizálható, ha Jordan-normálalakja diagonális. Mátrix karakterisztikus mátrixának fogalma. Hasonló mátrixok karakterisztikus mátrixa megkapható egymásból elemi átalakítások véges sokszori alkalmazásával. Polinommátrixok, azaz K[x] feletti négyzetes mátrixok elemi átalakításai. A kanonikus diagonális polinommátrix fogalma: a főátlóban lévő d1, d2, ..., dn polinom 0 vagy főpolinom, valamint d1| d2 | ... | dn . Tétel: Minden polinommátrix kanonikus diagonális alakra hozható elemi átalakítások véges sokszori alkalmazásával, és az így kapott kanonikus diagonális alak egyértelműen meghatározott. Következmény: Hasonló mátrixok karakterisztikus mátrixának kanonikus diagonális alakja azonos.

Jordan-mátrix kanonikus diagonális alakja. Négyzetes K feletti mátrix invariáns faktorai és elemi osztói, a mátrix Jordan-normálalakjának kiszámítása. Tétel: Egy mátrix invariáns faktorainak, illetve elemi osztóinak szorzata --- előjeltől eltekintve --- éppen a mátrix karakterisztikus polinomja. Tétel: Egy lineáris transzformáció, illetve mátrix „utolsó” invariáns faktora éppen a lineáris transzformáció, illetve mátrix minimálpolinomja. Cayley-Hamilton-tétel: Legyen a fi lineáris transzformáció, illetve A mátrix karakterisztikus polinomja h. Ekkor h(fi)=0 (azaz a triviális lineáris transzformáció), illetve h(A)=0 (azaz a nullmátrix). Példa mátrix Jordan-normálalakjának kiszámítására.

2016. ápr. 26, 28. (0 + 45 perc)

A diagonalizálható mátrixok jellemzése; speciálisan ha egy mátrix karakterisztikus polinomja páronként különböző gyöktényezők szorzata (az adott test felett), akkor a mátrix diagonalizálható. Mátrixnak és transzponáltjának ugyanaz a Jordan-normálalakja.

A résztest, ill. a testbővítés fogalma. A test fölötti egyhatározatlanú polinomgyűrűk faktortestei mint testbővítések. Résztestek metszete résztest. A prímtest definíciója. Test prímteste izomorf Zp-vel (p prím) vagy Q-val.

2016. máj. 3, 5. (45 + 45 perc --- máj. 3-án 15.00-15.45)

Az algebrai elem fogalma. Elem minimálpolinomjának fogalma, példák. Az egyszerű algebrai testbővítés, a K[x]/(f) test mint egyszerű algebrai bővítés. Egy K test f minimálpolinomú elemmel való egyszerű algebrai bővítése izomorf a K[x]/(f) testtel. A véges fokú testbővítés fogalma, a bővítés fokszáma. Az egyszerű algebrai testbővítés fokszáma megegyezik az adjungált elem minimálpolinomjának fokszámával. A véges fokú testbővítések minden eleme algebrai. Elem minimálpolinomjának meghatározása véges fokú testbővítésekben. A fokszámok szorzástétele (bizonyítás nélkül). Példák.

Minden véges test prímhatvány rendű. A véges testek résztesteinek rendje. A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás nélkül). Minden véges test izomorf valamely Zp[x]/(f) testtel, ahol p prím és f irreducibilis polinom Zp fölött; sőt, f választható úgy, hogy az x+(f) elem generálja Zp[x]/(f) multiplikatív csoportját. Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test (bizonyítás nélkül). Következésképpen minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis polinom Zp fölött, és bármely n-edfokú, Zp[x]-beli f,g irreducibilis polinom esetén a Zp[x]/(f) és a Zp[x]/(g) test izomorf egymással.

2016. máj. 10, 12. ((0 + máj. 10-én 16.00: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT) + 45 perc)

Alkalmazások

A kódolás intuitív fogalma, legfontosabb alkalmazási területek. A hibajelző kódolás definíciója. A BCH-kódolás alaptétele. A BCH-kódolás definíciója, hibajelző képessége. Példa BCH-kódolásra.


Vissza az elejére