2012-2013. tanév, tavaszi félév
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.
Konvenciók (jobbról írás, bázisáttérés mátrixa, jelölések Szabó László jegyzete alapján). A Bevezetés a lineáris algebrába tárgyból szükséges legalapvetőbb ismeretek átismétlése.
Magasabb lineáris algebra
Vektortér altereinek direkt összege
Emlékeztető: alterek összegének definíciója, U1+...+Uk a legszűkebb olyan altér, amely tartalmazza U1,...,Uk-t. Definíció: A V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege, ha V minden eleme egyértelműen előáll U1,...,Uk-beli vektorok összegeként. Tétel: Bármely V véges dimenziós vektortér tetszőleges U1,...,Uk altereire ekvivalensek a következők: (1) a V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege; (2) az U1,...,Uk alterek tetszőleges E1,...,Ek bázisaira az utóbbiak összessége bázis V-ben; (3) az U1,...,Uk altereknek van olyan E1,...,Ek bázisa, amelyre az utóbbiak összessége bázis V-ben; (4) V= U1+...+Uk, és tetszőleges i>1 indexre Ui és U1+...+Ui-1 metszete triviális.
Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei és karakterisztikus polinomja
A lineáris transzformációk, illetve négyzetes mátrixok sajátértékeivel, sajátvektoraival és karakterisztikus polinomjával kapcsolatos alapfogalmak és összefüggések átismétlése. Lineáris transzformáció, illetve mátrix sajátaltereinek fogalma. A különböző sajátértékekhez tartozó sajátalterek metszete triviális. Egy vektortér lineáris transzformációjának mátrixa pontosan akkor diagonális egy adott bázisban, ha a bázis a lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll. Ebben az esetben a báziselemek közül pontosan annyi tartozik a c sajátértékhez, amennyi a c-hez tartozó sajátaltér dimenziója. Továbbá az egyes sajátértékekhez tartozó báziselemek által generált alterek éppen a megfelelő sajátalterek, és a vektortér előáll a lineáris transzformáció sajátaltereinek direkt összegeként.
Euklideszi terek
Az euklideszi terek fogalma, az Rn euklideszi tér (a standard belső szorzással). Vektorok hossza (v. normája), Schwarz-egyenlőtlenség, nemnulla vektorok szöge, háromszög-egyenlőtlenség, merőleges (v. ortogonális) vektorok; vektor, illetve altér ortogonális komplementuma; ortogonális, illetve ortonormált vektorrendszerek fogalma és lineáris függetlenségük. Minden euklideszi térben van ortonormált bázis. Gram-Schmidt-féle eljárás. Euklideszi tér minden ortonormált vektorrendszere kiegészíthető ortonormált bázissá. Minden euklideszi tér előáll bármely alterének és ortogonális komplementumának direkt összegeként. Minden n dimenziós euklideszi tér izomorf az Rn euklideszi térrel (standard belső szorzás).
Lineáris leképezés adjungáltjának létezése és egyértelműsége, kapcsolat a lineáris leképezés és adjungáltjának mátrixa között adott ortonormált bázisokban. Az önadjungált lineáris transzformáció fogalma. Egy lineáris transzformáció pontosan akkor önadjungált, ha valamely [minden] ortonormált bázisban szimmetrikus a mátrixa. Az ortogonális lineáris transzformáció fogalma: olyan lineáris transzformáció, amely „megőrzi” a normát. Minden ortogonális transzformáció bijektív. Az ortogonális transzformációk jellemzései (a lineáris transzformációk között): „megőrzik” a belső szorzatot, ortonormált vektorrendszert ugyanilyenbe visznek, ortonormált bázist ugyanilyenbe visznek, adjungáltjuk megegyezik az inverzükkel. Az ortogonális transzformációk mátrixának jellemzése ortonormált bázisban. Az ortogonális mátrix fogalma. Valós szimmetrikus mátrix karakterisztikus polinomjának minden gyöke valós.
Főtengelytétel (lineáris transzformációs alak): Egy V euklideszi tér minden önadjungált lineáris transzformációja esetén van V-nek olyan ortonormált bázisa, amely az önadjungált lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll. (Az ilyen bázisban az önadjungált lineáris transzformáció mátrixa diagonális, a főátlóban az önadjungált lineáris transzformáció sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, mint a megfelelő sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban.) Főtengelytétel (mátrixos alak): Bármely A valós szimmetrikus mátrixhoz van olyan Q valós ortogonális mátrix, amelyre a D=Q-1AQ mátrix diagonális. (Az ilyen Q mátrixok esetén D főátlójában A sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, mint a megfelelő sajátérték multiplicitása A karakterisztikus polinomjában.) Főtengelytétel (kvadratikus alakokra): Egy V euklideszi téren értelmezett bármely q kvadratikus alakhoz létezik V-nek olyan ortonormált bázisa, amelyben q mátrixa diagonális [azaz amelyben q koordinátás alakja kanonikus]. (A mátrix főátlójában ekkor q bármely ortonormált bázisában felírt mátrixának sajátértékei állnak, mindegyik annyiszor, amennyi a megfelelő sajátérték multiplicitása a karakterisztikus polinomban.) Spektráltétel: Legyen V euklideszi tér, rajta adott egy önadjungált lineáris transzformáció. Ekkor V előáll az önadjungált lineáris transzformáció páronként különböző sajátértékeihez tartozó sajátaltereinek direkt összegeként, és a sajátalterek páronként ortogonálisak. (Dimenziójuk a megfelelő sajátértékek multiplicitása a karakterisztikus polinomban.)
Mátrixok Jordan-féle normálalakja
Az invariáns altér fogalma. Adott vektortér és lineáris transzformáció esetén a testelemekkel való szorzás kiterjesztése polinomokkal való szorzásra, számolási tulajdonságok. Az invariáns alterek éppen a polinomokkal való szorzásra zárt alterek. Adott v vektor által generált invariáns altér: <v>. Véges dimenziós vektortéren értelmezett lineáris transzformáció minimálpolinomjának fogalma, vektor rendjének fogalma (adott lineáris transzformációra vonatkozóan). Minden vektor rendje osztja a minimálpolinomot. Alaptétel: Legyen V véges dimenziós vektortér a K test felett, melyen rögzítünk egy lineáris transzformációt. Ekkor V olyan <v1>, <v2>, … , <vs> invariáns alterek direkt összege, ahol v rendje K[x]-beli irreducibilis polinom hatványa. Továbbá az ilyen előállításokban fellépő rendek rendszere egyértelműen meghatározott. Speciális bázis megadása a <v> invariáns alterekben. A Jordan-blokk és a Jordan-mátrix fogalma. Tétel (lineáris transzformációs alak): Minden lineáris transzformációhoz létezik olyan bázis a vektortérben, amelyben a lineáris transzformáció mátrixa Jordan-mátrix.
Továbbá az ilyen Jordan-mátrix a blokkok sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Tétel (mátrixos alak): Minden négyzetes mátrix hasonló egy Jordan-mátrixhoz, és ez a Jordan-mátrix a Jordan-blokkok sorrendjétől eltekintve egyértelműen meghatározott. Neve: a mátrix Jordan-féle normálalakja. Példák: Jordan-mátrixok R és C felett. Mátrix karakterisztikus mátrixának fogalma. Hasonló mátrixok karakterisztikus mátrixa megkapható egymásból elemi átalakítások véges sokszori alkalmazásával. Polinommátrixok, azaz K[x] feletti négyzetes mátrixok elemi átalakításai. A kanonikus diagonális polinommátrix fogalma: a főátlóban lévő d1, d2, ..., dn polinom 0 vagy főpolinom, valamint d1| d2 | ... | dn . Tétel: Minden polinommátrix kanonikus diagonális alakra hozható elemi átalakítások véges sokszori alkalmazásával, és az így kapott kanonikus diagonális alak egyértelműen meghatározott. Következmény: Hasonló mátrixok karakterisztikus mátrixának kanonikus diagonális alakja azonos. Így a következőkben mondottak lineáris transzformációkra is igazak. Jordan-mátrix kanonikus diagonális alakja. Négyzetes K feletti mátrix invariáns faktorai és elemi osztói, a mátrix Jordan-normálalakjának kiszámítása.
Tétel: Egy mátrix invariáns faktorainak, illetve elemi osztóinak szorzata --- előjeltől eltekintve --- éppen a mátrix karakterisztikus polinomja. Tétel: Egy lineáris transzformáció, illetve mátrix elemi osztóinak legkisebb közös többszöröse (azaz „utolsó” invariáns faktora) éppen a lineáris transzformáció, illetve mátrix minimálpolinomja. Cayley-Hamilton-tétel: Legyen a fi lineáris transzformáció, illetve A mátrix karakterisztikus polinomja h. Ekkor h(fi)=0 (azaz a triviális lineáris transzformáció), illetve h(A)=0 (azaz a nullmátrix).
Csoportok
Definíciók, példák
Csoport definíciója. Az invertálható művelet definíciója. A csoportok jellemzése mint asszociatív és invertálható művelettel rendelkező struktúrák. Példák (többek között): általános lineáris csoportok, szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód.
Véges halmaz permutációi
A ciklus fogalma. Mozgatott elemek halmaza. Az idegen permutációk fogalma. Az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként.
Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An. Az An csoport elemszáma.
Elemrend, részcsoport, generátorrendszer, ciklikus csoportok
Elem rendje és tulajdonságai.
Véges Abel-csoportban van olyan elem, amelynek rendje egyenlő a csoport összes elemei rendjének legkisebb közös többszörösével. Részcsoport fogalma, példák részcsoportra, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport, csoport generátorrendszere, generátum megadása a generátorelemekkel. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.
Izomorfizmus, homomorfizmus
Az izomorfizmus és a homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata. Izomorfizmusok szorzata és inverze. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje. Homomorfizmus képhalmaza részcsoport. A homomorf kép fogalma. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Ciklikus csoport homomorf képe ciklikus. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész).
Permutációcsoportok, a Cayley-féle reprezentációtétel
Permutációcsoportok, Cayley tétele: Minden csoport izomorf egy pernutációcsoporttal.
Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange-tétel
A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen. Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint. A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.
Normálosztó, faktorcsoport, homomorfiatétel
Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma. Konjugálás, konjugáltsági reláció. Az automorfizmus fogalma, csoport automorfizmuscsoportja. A belső automorfizmus fogalma. Egy csoport belső automorfizmusainak csoportja a csoport homomorf képe. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma csoportokra.
Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma. A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma, homomorfizmus magja normálosztó. Az injektív és a triviális homomorfizmus jellemzése a magjával. A csoportelméleti homomorfiatétel. Az 1. és 2. izomorfiatétel csoportokra (bizonyítás nélkül). Az egyszerű csoport, ill. a maximális normálosztó fogalma, kapcsolatuk. Az egyszerű Abel-csoportok. Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül).
Gyűrűk
Példák, alaptulajdonságok
A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).
Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű
A részgyűrű fogalma, jellemzése.
Komplexusműveletek gyűrűkben. A részhalmaz által generált részgyűrű fogalma, elemeinek megadása. A homomorfizmus, izomorfizmus fogalma, alaptulajdonságaik. Az izomorfia fogalma, példák. Az ideál fogalma, jellemzése. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma gyűrűkre. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai. A faktorgyűrű fogalma. A természetes homomorfizmus.
Homomorfiatétel és izomorfiatételek
Homomorfizmus magja. Homomorfiatétel. Az 1. és a 2. izomorfiatétel gyűrűkre (bizonyítás nélkül).
Főideálgyűrű faktortestei, testkonstrukciók
Az egyszerű gyűrű, ill. a maximális ideál fogalma, kapcsolatuk. Az egységelemes, kommutatív egyszerű gyűrűk leírása.
Egy főideálgyűrű faktortestei éppen az irreducibilis elemek által generált főideálok szerinti faktorgyűrűk. Az egész számok gyűrűjének, ill. a test fölötti polinomgyűrűk faktortestei. Számolás a K[x]/(f) (K test, f polinom K[x]-ben) faktorgyűrűkben. Nemnulla elem multiplikatív inverzének kiszámítása a K[x]/(f) (K test, f irreducibilis polinom K[x]-ben) faktortestekben. Véges testek konstrukciója Zp[x] (p prím) faktortesteként. Egy négyelemű test megadása művelettáblázataival. Egy gyűrű-generátorrendszer a K[x]/(f) (K test, f irreducibilis polinom K[x]-ben) faktortestben. Van gyöke az f polinomnak a K[x]/(f) (K test, f irreducibilis polinom K[x]-ben) faktortestben.
Testek
Test karakterisztikája, prímteste
A karakterisztika definíciója. Test karakterisztikája 0 vagy prímszám. A résztest, ill. a testbővítés fogalma. Példák. Résztestek metszete résztest. Részhalmaz által generált résztest fogalma, megadása a részhalmaz elemeinek segítségével. A prímtest definíciója. Test prímteste izomorf Q-val vagy Zp-vel (p prím).
Egyszerű algebrai testbővítés
Az algebrai, ill. transzcendens elem fogalma. Algebrai elem minimálpolinomjának fogalma. A minimálpolinom különböző jellemzései. Az egyszerű algebrai testbővítés fogalma, példák. A K[x]/(f) test mint egyszerű algebrai testbővítés.
Egy K test f minimálpolinomú elemmel való egyszerű algebrai testbővítése izomorf a K[x]/(f) testtel. Ennek megfelelően kétféle megközelítés, írásmód az egyszerű algebrai testbővítések esetén. A felbontási test fogalma, minden polinomnak létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen felbontási teste (bizonyítás nélkül).
Véges fokú testbővítések
A véges fokú testbővítés fogalma, a bővítés fokszáma. Minden egyszerű algebrai testbővítés véges fokú, és fokszáma megegyezik az adjungált elem minimálpolinomjának fokszámával. Véges fokú testbővítés minden eleme algebrai. A fokszámok szorzástétele (bizonyítás nélkül), példák.
Véges testek
Minden véges test prímhatvány rendű. Véges test résztesteinek rendje. A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus. Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test; ez az xq -x (q=pn) polinom felbontási teste Továbbá minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis f polinom Zp fölött, és így a pn elemű test izomorf Zp(x)/(f)-fel.
Alkalmazások
BCH-kódolás
A hibajelző kódolás definíciója. A BCH-kódolás alaptétele. A BCH-kódolások definíciója, hibajelző képessége.
RSA-titkosítás, Miller-Rabin-féle prímteszt
Kódolás intuitív fogalma, legfontosabb alkalmazási területek. Példák titkosírásokra, Enigma. A nyilvános kulcsú titkosítás alapelve, az RSA-titkosítás. Miller-Rabin tétele (bizonyítás nélkül), a Miller-Rabin-teszt.