Alkalmazott algebra előadás

2014-2015. tanév, tavaszi félév


2015. febr. 2, 5.

2015. febr. 9, 12.

2015. febr. 16,19.

2015. febr. 23, 26.

2015. márc. 2, 5.

2015. márc. 9, 12.

2015. márc. 16, 19.

2015. márc. 23, 26.

2015. márc. 30, ápr. 2.

2015. ápr. 13, 16.

2015. ápr. 20, 23.

2015. ápr. 27, 30.

2015. máj. 4, 7.

2015. máj. 11, 14.







2015. febr. 2, 5. (100 + 50 perc)

Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.

Csoportok

Csoport fogalma. Példák (többek között): általános lineáris csoportok, szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód.

A mozgatott elemek halmaza. A ciklus fogalma.

Magasabb lineáris algebra

Konvenciók (jobbról írás, bázisáttérés mátrixa, jelölések Szabó László jegyzete alapján). A Lineáris algebra tárgyból szükséges legalapvetőbb ismeretek átismétlése.

Emlékeztető: alterek összegének definíciója, U1+...+Uk a legszűkebb olyan altér, amely tartalmazza U1,...,Uk-t. Definíció: A V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege, ha V minden eleme egyértelműen előáll U1,...,Uk-beli vektorok összegeként. Tétel: Bármely V véges dimenziós vektortér tetszőleges U1,...,Uk altereire ekvivalensek a következők: (1) a V vektortér az U1,...,Uk altereinek direkt összege; (2) az U1,...,Uk alterek tetszőleges E1,...,Ek bázisaira az utóbbiak összessége bázis V-ben; (3) az U1,...,Uk altereknek van olyan E1,...,Ek bázisa, amelyre az utóbbiak összessége bázis V-ben; (4) V= U1+...+Uk, és tetszőleges i>1 indexre Ui és U1+...+Ui-1 metszete triviális.

2015. febr. 9, 12. (100 + 50 perc)

Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként. Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.

Csoport ekvivalens definíciói: asszociatív művelet esetén az invertálhatóság ekvivalens az egységelem és inverzelemek létezésével.

A lineáris transzformációk, illetve négyzetes mátrixok sajátértékeivel, sajátvektoraival és karakterisztikus polinomjával kapcsolatos alapfogalmak és összefüggések átismétlése. Lineáris transzformáció, illetve mátrix sajátaltereinek fogalma. Egy vektortér lineáris transzformációjának mátrixa pontosan akkor diagonális egy adott bázisban, ha a bázis a lineáris transzformáció sajátvektoraiból áll. Ebben az esetben a báziselemek közül pontosan annyi tartozik a c sajátértékhez, amennyi a c-hez tartozó sajátaltér dimenziója. Továbbá az egyes sajátértékekhez tartozó báziselemek által generált alterek éppen a megfelelő sajátalterek, és a vektortér előáll a lineáris transzformáció sajátaltereinek direkt összegeként.

Az euklideszi tér fogalma, az Rn euklideszi tér (a standard belső szorzással).

2015. febr. 16, 19. (100 + 50 perc)

Elem rendje és tulajdonságai. Az n-edfokú szimmetrikus csoport elemeinek rendje. Véges Abel-csoportban van olyan elem, melynek rendje az összes elemrend többszöröse. A részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport, csoport generátorrendszere, részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel.

Bunyakovszkij-Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség, nemnulla vektorok szöge, háromszög-egyenlőtlenség, ortogonális (v. merőleges) vektorok; vektor, illetve altér ortogonális komplementuma; ortogonális, illetve ortonormált vektorrendszerek fogalma és lineáris függetlenségük. Minden euklideszi térben van ortonormált bázis. Gram-Schmidt-féle eljárás.

2015. febr. 23, 26. (100 + 50 perc)

Példák: Sn és An néhány generátorrendszere. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.

Az izomorfizmus fogalma. Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje. Homomorfizmus képhalmaza részcsoport. A homomorf kép fogalma. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész).

Euklideszi tér minden ortonormált vektorrendszere kiegészíthető ortonormált bázissá. Minden euklideszi tér előáll bármely alterének és ortogonális komplementumának direkt összegeként. Minden n dimenziós euklideszi tér izomorf az Rn euklideszi térrel (standard belső szorzás). Lineáris leképezés adjungáltjának létezése és egyértelműsége, kapcsolat a lineáris leképezés és adjungáltjának mátrixa között adott ortonormált bázisokban.

2015. márc. 2, 5. (100 + 50 perc)


2015. márc. 9, 12. (100 + 50 perc)


2015. márc. 16, 19.


2015. márc. 23, 26.


2015. márc. 30, ápr. 2.


2015. ápr. 13, 16.


2015. ápr. 20, 23.


2015. ápr. 27, 30.


2015. máj. 4, 7.


2015. máj. 11, 14. 2015. máj. 11, 11.45: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT




Vissza az elejére