Alkalmazott algebra
(2012-2013. tanév, tavaszi félév)
TUDNIVALÓK
A tárgy célja, a tárgyfelvétel előírásai:
A bevezető lineáris algebrai ismeretek továbbfejlesztése, valamint a legfontosabb absztrakt algebrai alapismeretek oktatása, kitekintéssel az alkalmazásokra. A tárgy megértéséhez lineáris algebrai, számelméleti és klasszikus algebrai előismeretek szükségesek.
Kötelező tárgy a matematika alapszak alkalmazott matematikus szakirányán, valamint azoknak, akik a matematika alapszakot szakirányválasztás nélkül akarják elvégezni.
Előfeltétele: MBN111 Lineáris algebra és MBN212 Klasszikus algebra
Párhuzamos feltétele: MBN412G Alkalmazott algebra gyakorlat
Magasabb lineáris algebra
Vektortér altereinek direkt összege
Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei és karakterisztikus polinomja
Euklideszi terek
Lineáris leképezések adjungáltja
Önadjungált, illetve ortogonális lineáris leképezések
Spektráltétel és következményei
Mátrixok Jordan-féle normálalakja
Lineáris transzformáció minimálpolinomja, felbontás speciális invariáns alterek direkt összegére
Jordan-mátrix, mátrixok Jordan-féle normálalakja
Polinommátrixok ekvivalenciája és kanonikus alakja, a Jordan-féle normálalak kiszámítása
Cayley-Hamilton-tétel
Csoportok
Definíciók, példák
Véges halmaz permutációi
Elemrend, részcsoport, generátorrendszer, ciklikus csoportok
Izomorfizmus, homomorfizmus
Permutációcsoportok, a Cayley-féle reprezentációtétel
Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange-tétel
Normálosztó, faktorcsoport, homomorfiatétel, izomorfiatételek
Gyűrűk
Példák, alaptulajdonságok
Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű
Homomorfiatétel és izomorfiatételek
Főideálgyűrű faktortestei, testkonstrukciók
Testek
Test karakterisztikája, prímteste
Egyszerű algebrai és egyszerű transzcendens bővítés
Véges fokú bővítések
Véges testek
Alkalmazások
RSA-titkosítás
Miller-Rabin-féle prímteszt, Jacobi-szimbólum, Solovay-Strassen-teszt
A P és NP problémaosztály
Diszkrét logaritmus, Zech-logaritmus
BCH-kódolás
Véges automaták és reguláris nyelvek
Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985, 1988; JATE Press, Szeged, 1993, 1998; Polygon, Szeged, 2005.
Csákány Béla: Algebra, JATE jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
Czédli Gábor: Boole-függvények, JATEPress, Szeged, 1994; Polygon, Szeged, 1995.
Fagyejev, D. K., Szominszkij, I. S.: Felsőbb algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973; Typotex, Budapest, 2000.
Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1998.
Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000.
Kiss Emil: Bevezetés az algebrába, Typotex, Budapest, 2007.
Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, Szeged, 1997.
Az előadásokon elhangzik a tematikának megfelelő elméleti anyag: fogalmak (definíciók), összefüggéseik (állítások, tételek, legtöbbször bizonyításaikkal együtt), alkalmazások, példák.
Vizsgát az tehet, aki a gyakorlaton elérte az elfogadáshoz szükséges pontszámot, illetve aki korábban gyakorlati jegyet szerzett.
A vizsga félévközi írásbeli és vizsgaidőszakbeli szóbeli részből áll.
A 45 perces félévközi írásbeli vizsga elméleti kérdésekből és a tananyag megértését, illetve a legfontosabb alkalmazások elsajátítását ellenőrző kérdésekből áll --- l. a minta félévközi írásbeli kérdéssort.
A félévközi írásbeli vizsgadolgozattal, amelynek időpontja 2013. május 14-én 12 óra, azaz az utolsó előadás harmadik órája, és amely „beugró” jellegű, maximum 25 pont szerezhető. Aki a félévközi írásbeli vizsgadolgozattal nem szerez legalább 12 pontot, nem vizsgázhat.
Sikeres félévközi írásbeli vizsga birtokában a vizsgázó a szóbeli vizsgán az utolsó előadás után e honlapon megjelenő tételjegyzékben szereplő témakörök közül véletlenszerűen húz, és abból önállóan felel, illetve kérdésekre válaszol. A felelet elengedhetetlen része a témakörhöz tartozó --- esetleg korábbi tanulmányok során bevezetett, illetve bizonyított --- definíciók, illetve tételek pontos ismerete, valamint a jelen tárgy keretében elhangzott bizonyítások megfelelő szintű ismerete (elégséges érdemjegyhez elegendő a könnyebb bizonyításoké). A vizsgán a félév anyagának bármely témájából --- beleértve a tárgyalásához szükséges korábban tanult ismereteket is --- elhangozhat kérdés. A vizsga eredménye függ a gyakorlaton, valamint a félévközi írásbeli vizsgadolgozatban és a szóbeli vizsgán nyújtott teljesítménytől is, mégpedig kb. 50-10-40 % arányban. Aki korábbi félévben gyakorlati jegyet szerzett, annak az érdemjegye csak az írásbeli és a szóbeli vizsgán nyújtott teljesítménytől függ, mégpedig kb. 20-80 % arányban.
A félévközi írásbeli vizsgadolgozat pótlására a vizsgaidőszak második hetén meghirdetett időpontban kerülhet sor. A sikertelen félévközi írásbeli vizsgadolgozat javítására ezzel egy időben, valamint az utóvizsga-időszakban meghirdetett időpontban lesz lehetőség.
Aki a félévközi írásbeli vizsgadolgozatban, illetve annak pótlásakor és/vagy javításakor nem szerez legalább 12 pontot, szóbeli vizsga nélkül elégtelent kap.
Jelentkezés a vizsgákra:
Az ETR-ben csak az jelentkezhet fel vizsgára, aki elfogadható teljesítményt nyújtott a gyakorlaton.
A vizsgaidőszak második hetében és az utóvizsgahéten a félévközi írásbeli vizsgadolgozat pótlásának, illetve javításának időpontja és helye lesz meghirdetve az ETR-ben, a szóbeli vizsga időpontja és helye megjegyzésként lesz olvasható. Ezeken a heteken azoknak is a pótló/javító félévközi írásbeli vizsgadolgozat időpontjára kell jelentkezniük, akik csak szóbeli vizsgát kívánnak tenni. A vizsgaidőszak többi hetében a szóbeli vizsga időpontja és helye lesz meghirdetve az ETR-ben, így ezekre a vizsgákra a jelentkezésnek az is feltétele, hogy a hallgató rendelkezzen sikeres félévközi írásbeli vizsgadolgozattal. A szóbeli vizsga általában délután 2 órakor kezdődik majd, a mondott heteken a félévközi írásbeli vizsgadolgozat pótlása, javítása pedig a szóbeli vizsga előtti napon délután lesz.
Mivel az ETR nem tudja ellenőrizni a vizsgára jelentkezés feltételeit, nem adok meg létszámkorlátot a vizsgaidőpontokhoz. Azonban előre jelzem, hogy kellemetlenségekkel járhat, ha egy vizsganapra túl sokan jelentkeznek fel. A szóbeli vizsgák ETR-ben megjelölt időintervallumában (általában 14.00-tól 19.00-ig) legfeljebb 10 hallgatót fogok vizsgáztatni. Ha az ETR-ben ennél több a szóbeli vizsgázók száma, akkor a megjelölt időintervallumban a vizsgára bocsáthatók közül az időrendben leghamarabb feljelentkezett 10 hallgató vizsgázhat. Dátumegyezés esetén előnyben részesülnek azok, akiknek a vizsgajelentkezése kisebb sorszámú. A többiek számára --- a létszám és az egyéb elfoglaltságaim figyelembe vételével --- a szóbeli vizsga megkezdése előtt új időpontot jelölök ki a vizsganapot követő napra. Ezen időpont kijelölésében semmiféle egyéni szempontot nem veszek figyelembe. Mindenki, aki több mint 10 feljelentkezett hallgató után jelentkezik be egy vizsganapra, számítson erre a körülményre, és ennek tudatában döntsön a feljelentkezés mellett.
Minden szóbeli vizsganapon a vizsga kezdetének időpontjában (a feliratkozott hallgatók létszámától függetlenül!) minden vizsgázó köteles megjelenni.
A gyakorlat célja az, hogy az előadáson elhangzott absztrakt fogalmakat, összefüggéseket és számolási eljárásokat minél több --- egyszerű és kevésbé egyszerű --- példán keresztül megértsék, gyakorolják, valamint ismereteiket elmélyítsék. Ennek a munkának elengedhetetlen előfeltétele, hogy tudják az előadáson elhangzott fogalmakat és összefüggéseket, és meghatározó része az önálló feladatmegoldás.
Számonkérés:
A követelmények és a számonkérés módjai hasonlóak lesznek a két csoportban. A félév során három zárthelyi dolgozatot (egyenként 50, 90, 90 perces) kell írni.
A zárthelyi dolgozatok időpontja: A szorgalmi időszak 2., 7. és 13. (aktív) hetére eső gyakorlat (2013. febr. 11-15., márc. 18-22., máj. 6-10.)
Továbbá heti rendszerességgel házi feladatokat kapnak, amelyek megoldását --- az előadáson elhangzott definíciókkal és tételekkel együtt --- a gyakorlaton szóban számon kérjük. Így minden hallgató rendszeres visszajelzést kap haladásáról. A gyakorlati jegyet a gyakorlaton nyújtott szereplés, valamint a félév során írt zárthelyi dolgozatok együttesen határozzák meg a következők szerint:
A kötelező tevékenységekkel összesen max. 100 pont szerezhető az alábbi bontásban:
a zárthelyi dolgozatokból max. 90 pont (zárthelyinként 20-35-35 pont),
a házi feladatok táblánál, illetve írásban történő megoldásáért max. 10 pont (feladatonként 2 pont).
Értékelés, pótlás lehetősége, vizsga:
A gyakorlat önmagában nem teljesíthető, az aláírást az kapja meg az ETR-ben, aki sikeresen vizsgázik.
Nem fogadható el a gyakorlaton nyújtott teljesítménye annak, aki valamelyik zárthelyi dolgozatban 20%-nál (4-7-7) kevesebb pontot ér el, vagy a fentiek szerint összesen megszerezhető 100 pontból 35-nél kevesebb pontot gyűjt össze. Csak az elfogadható teljesítményt nyújtó hallgatók vizsgázhatnak.
Tájékoztatásul közöljük, hogy az elfogadható teljesítmény pontszámai kb. milyen érdemjegynek felelnének meg:
35--47 pont: elégséges
48--61 pont: közepes
62--74 pont: jó
75 ponttól: jeles
A gyakorlaton nyújtott összteljesítmény a kollokvium jegyében kerül beszámításra (kb. 50%-os mértékben).
A zárthelyi dolgozatok valamelyike (három közül az egyik) azonban megírható, illetve újraírható a vizsgaidőszak első hetében egy előre egyeztetett alkalommal. [Ezek a dolgozat-feladatsorok nem lehetnek könnyebbek, mint a szorgalmi időszakban írt feladatsorok!] Ez az egyetlen javítási lehetőség azok számára is, akiknek nem fogadható el a gyakorlaton nyújtott teljesítménye. Ha a pótlás, javítás után is elégtelen marad a gyakorlaton nyújtott teljesítmény, akkor nem lehet vizsgát tenni.
A zárthelyi dolgozatok vizsgaidőszakbeli pótlására, javítására egyetlen időpontban kerül sor, amit az utolsó gyakorlaton (2013. máj. 13-17.) rögzít a gyakorlatvezető az érintett hallgatókkal. Azok az érintettek, akik nem jelennek meg ezen a gyakorlaton, kötelesek alkalmazkodni a rögzített időponthoz.
Automatikusan --- azaz elért pontszámtól függetlenül --- elégtelen a gyakorlaton nyújtott teljesítménye annak, aki nem megengedett eszközökhöz folyamodik, pl. puskázik, feladatot másol le, vagy engedi azt lemásolni. A meg nem engedett eszközt használók számára nincs lehetőség a gyakorlati teljesítmény megszerzésére ebben a félévben.
A gyakorlatokra vonatkozóan további részletek olvashatók a gyakorlatvezetők --- Skublics Benedek és Szabó László --- honlapján.