Absztrakt algebra előadás

2013-2014. tanév, tavaszi félév


2014. febr. 11.

2014. febr. 18.

2014. febr. 25.

2014. márc. 4.

2014. márc. 11.

2014. márc. 18.

2014. márc. 25.

2014. ápr. 1.

2014. ápr. 8.

2014. ápr. 15.

2014. ápr. 22.

2014. ápr. 29.

2014. máj. 6.

2014. máj. 13.







2014. febr. 11. (100 perc)

Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.

Csoportok

Csoport fogalma. Példák (többek között): általános lineáris csoportok, szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok, kvaterniócsoport. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód. Csoport ekvivalens definíciói: asszociatív művelet esetén az invertálhatóság ekvivalens az egységelem és inverzelemek létezésével.

A ciklus fogalma. A mozgatott elemek halmaza.

2014. febr. 18. (100 perc)

Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként. Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.

Elem rendje és tulajdonságai.

2014. febr. 25. (100 perc)

Részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport, csoport generátorrendszere, részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.

Az izomorfizmus fogalma. Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció.

2014. márc. 4. (100 perc)

Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje. Homomorfizmus képhalmaza részcsoport. A homomorf kép fogalma. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész). Permutációcsoportok, Cayley-tétel.

A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen. Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint (végtelen csoport esetén csak megemlítve). A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.

2014. márc. 11. (100 perc)

Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma. Elem és részhalmaz konjugáltjának, ill. részhalmaz konjugálásra való zártságának fogalma. A konjugáltsági reláció. A konjugáltsági osztályok Sn-ben. Az automorfizmus fogalma, csoport automorfizmuscsoportja. A belső automorfizmus fogalma. Egy csoport belső automorfizmusainak csoportja a csoport homomorf képe. Normálosztók metszete normálosztó, részhalmaz által generált normálosztó, a generált normálosztó megadása a generátorelemekkel, példa. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma csoportokra, kapcsolatuk, példák. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai.

2014. márc. 18. (100 perc)

A faktorcsoport fogalma.

A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma. Homomorfizmus magja normálosztó, és egy homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha magja triviális. A csoportelméleti homomorfiatétel, példa. Csoport centruma, Inn G izomorf G/Z(G)-vel. Az 1. és 2. izomorfiatétel csoportokra (bizonyítás nélkül), példák.

Az egyszerű csoport fogalma. Az egyszerű Abel-csoportok. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül). A maximális normálosztó fogalma, kapcsolata az egyszerű csoportokkal.

2014. márc. 25. (100 perc)

(A bizonyítás befejezése.) Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében.

Gyűrűk

A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).

A részgyűrű fogalma, jellemzése. Homomorfizmus, izomorfizmus, izomorfia fogalma, alaptulajdonságok, példák. Az egész számok gyűrűjének részgyűrűi.

Az ideál fogalma, jellemzése, példák. Az egész számok gyűrűjének minden részgyűrűje ideál.

2014. ápr. 1. (100 perc)

Részgyűrűk, illetve ideálok metszete részgyűrű, illetve ideál, részhalmaz által generált részgyűrű, illetve ideál, részhalmaz által generált részgyűrű, illetve ideál megadása a részhalmaz elemeivel. A főideál fogalma, főideálok az egységelemes kommutatív gyűrűkben. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai. A faktorgyűrű fogalma. A természetes homomorfizmus.

Homomorfizmus magja. Homomorfiatétel. Kapcsolat a csoportelméleti homomorfiatétellel.

Az egyszerű gyűrű, ill. a maximális ideál fogalma, kapcsolatuk. Minden test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerű (bizonyítás nélkül). A test fogalma. Az egységelemes kommutatív egyszerű gyűrűk éppen a testek.

2014. ápr. 8. (100 perc)

Egy főideálgyűrű faktortestei éppen az irreducibilis elemek által generált főideálok szerinti faktorgyűrűk. Az egész számok gyűrűjének, ill. a test fölötti polinomgyűrűk faktortestei. Számolás az utóbbi faktortestekben. Véges testek konstrukciója Zp[x] (p prím) faktortesteként.

A résztest, ill. a testbővítés fogalma. Résztestek metszete résztest. A prímtest definíciója. A test fölötti egyhatározatlanú polinomgyűrűk faktortestei mint testbővítések. A karakterisztika definíciója. Test karakterisztikája 0 vagy prímszám. Test prímteste izomorf Q-val vagy Zp-vel (p prím) (bizonyítás nélkül).

2014. ápr. 15. (100 perc)

Az algebrai, ill. transzcendens elem fogalma. Elem minimálpolinomjának fogalma, példák. Az egyszerű algebrai testbővítés, a K[x]/(f) test mint egyszerű algebrai bővítés. Egy K test f minimálpolinomú elemmel való egyszerű algebrai bővítése izomorf a K[x]/(f) testtel. A véges fokú testbővítés fogalma, a bővítés fokszáma. Az egyszerű algebrai testbővítés fokszáma megegyezik az adjungált elem minimálpolinomjának fokszámával. A véges fokú testbővítések minden eleme algebrai. A fokszámok szorzástétele (bizonyítás nélkül). Példák.

Minden véges test prímhatvány rendű. A véges testek résztesteinek rendje. A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus. Minden véges test izomorf valamely Zp[x]/(f) testtel, ahol p prím és f irreducibilis polinom Zp fölött; sőt, f választható úgy, hogy az x+(f) elem generálja Zp[x]/(f) multiplikatív csoportját. Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test (bizonyítás nélkül). Továbbá minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis f polinom Zp fölött, és a pn elemű test izomorf Zp[x]/(f)-fel.

2014. ápr. 22. (elmarad a hosszabbra tartott órák miatt)


2014. ápr. 29. (100 perc)

Csoportok (`külső') direkt szorzata, számolás a direkt szorzatban. A direkt szorzat projekciói, magjuk. A direkt tényezőkkel izomorf normálosztók a direkt szorzatban, és ezek elhelyezkedése a direkt szorzaton belül. A `belső' direkt szorzat fogalma: egy G csoport az N1,...,Nk normálosztóinak (`belső') direkt szorzata, ha G= N1...Nk, és minden i indexre Ni metszete N1...Ni-1Ni+1...Nk-val triviális. Normálosztók szorzata. Ha két normálosztó metszete triviális, akkor egy-egy elemet véve belőlük, ezek az elemek felcserélhetők. Négy ekvivalens jellemzése annak, hogy egy csoport bizonyos normálosztóinak direkt szorzata (bizonyítás csak a két tényezős esetre a következő előadáson). A két fogalom kapcsolata: egy csoport pontosan akkor izomorf a H1,...,Hk csoportok direkt szorzatával, ha a csoport előáll olyan N1,...,Nk normálosztóinak direkt szorzataként, amelyek rendre izomorfak H1,...,Hk-val. A direkt felbontható, ill. direkt felbonthatatlan csoportok fogalma. Példák: (1) C6 (illetve Z6) és V direkt felbontásai [szóhasználat: Abel-csoport `részcsoportok' direkt szorzata, additív esetben direkt összege] , (2) C, ill. Cq (q prímhatvány) direkt felbonthatatlan. Sn (n>4) normálosztói, Sn (n>1) direkt felbonthatatlan.

2014. máj. 6. (50 perc: 10.00-10.50)

A jellemzési tétel bizonyítása. Kritérium arra, hogy véges ciklikus csoportok direkt szorzata ciklikus legyen. Minden ciklikus csoport előáll, mégpedig egyértelműen prímhatványrendű (ciklikus) részcsoportjainak direkt szorzataként, és ebben az előállításban a fellépő prímhatványok páronként különböző prímekhez tartoznak.

2014. máj. 13. (50 perc + vizsgadolgozat) 11.00: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT

A véges Abel-csoportok alaptétele --- `külső' és `belső' direkt szorzat alakban (bizonyítás nélkül), illusztráló példák.

Gyűrűk (`külső') direkt szorzata, számolás a direkt szorzatban. A direkt tényezőkkel izomorf ideálok a direkt szorzatban. Az ideálok direkt összegének fogalma, kapcsolata a direkt szorzattal. Ekvivalens jellemzése annak, hogy egy gyűrű bizonyos ideáljainak direkt összege. Gyűrűk (`külső') direkt szorzatának és az ideálok direkt összegének kapcsolata. Kapcsolat a megfelelő csoportelméleti fogalmakkal, illetve tételekkel. A direkt felbonthatóság fogalma gyűrűkre. A Z és Z[i] gyűrű (általában minden főideálgyűrű) direkt felbonthatatlan, a mod n maradékosztály-gyűrűk direkt felbontásai.



Vissza az elejére