2012-2013. tanév, tavaszi félév
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.
Csoportok
Definíciók, példák
Csoport fogalma. Példák (többek között): általános lineáris csoportok, szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok, kvaterniócsoport. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód. Csoport ekvivalens definíciói: asszociatív művelet esetén az invertálhatóság ekvivalens az egységelem és inverzelemek létezésével.
Véges halmaz permutációi
A ciklus fogalma. A mozgatott elemek halmaza. Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban.
Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként. Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.
Elemrend, részcsoport, generátorrendszer, ciklikus csoportok
Elem rendje és tulajdonságai.
Véges Abel-csoportban van olyan elem, amelynek rendje egyenlő a csoport összes elemei rendjének legkisebb közös többszörösével. Részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport, csoport generátorrendszere, részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.
Izomorfizmus, homomorfizmus, a Cayley-féle reprezentációtétel
Az izomorfizmus fogalma.
Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje. Homomorfizmus képhalmaza részcsoport. A homomorf kép fogalma. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész). Permutációcsoportok, Cayley-tétel.
Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange-tétel
A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen.
Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint (végtelen csoport esetén csak megemlítve). A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.
Normálosztó, kompatibilis osztályozás, faktorcsoport
Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma. Elem és részhalmaz konjugáltjának, ill. részhalmaz konjugálásra való zártságának fogalma. A konjugáltsági reláció. A konjugáltsági osztályok Sn-ben.
Normálosztók metszete normálosztó, részhalmaz által generált normálosztó, a generált normálosztó megadása a generátorelemekkel, példa. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma csoportokra, kapcsolatuk, példák. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma.
Homomorfiatétel, izomorfiatételek, faktorcsoport részcsoportjai
A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma. Homomorfizmus magja normálosztó, és egy homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha magja triviális. A csoportelméleti homomorfiatétel, példa. Az automorfizmus fogalma, csoport automorfizmuscsoportja. A belső automorfizmus fogalma. Egy csoport belső automorfizmusainak csoportja a csoport homomorf képe. Csoport centruma, Inn G részcsoportja Aut G-nek és izomorf G/Z(G)-vel. Részcsoport és normálosztó szorzata. Véges sok normálosztó szorzata normálosztó. Az 1. és 2. izomorfiatétel csoportokra (bizonyítás nélkül), példák.
Az egyszerű csoport, ill. a maximális normálosztó fogalma, kapcsolatuk.
Egyszerű csoportok, An (n>4) egyszerűsége
Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében. Az egyszerű Abel-csoportok. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül).
Csoport felbontása normálosztói direkt szorzatára
Csoportok (`külső') direkt szorzata, számolás a direkt szorzatban. A direkt projekciói, magjuk. A direkt tényezőkkel izomorf normálosztók a direkt szorzatban, és ezek elhelyezkedése a direkt szorzaton belül. A `belső' direkt szorzat fogalma: egy G csoport az N1,...,Nk normálosztóinak (`belső') direkt szorzata, ha G= N1...Nk, és minden i indexre Ni metszete N1...Ni-1Ni+1...Nk-val triviális. Ha két normálosztó metszete triviális, akkor egy-egy elemet véve belőlük, ezek az elemek felcserélhetők. Négy ekvivalens jellemzése annak, hogy egy csoport bizonyos normálosztóinak direkt szorzata (bizonyítás csak a két tényezős esetre). A két fogalom kapcsolata: egy csoport pontosan akkor izomorf a H1,...,Hk csoportok direkt szorzatával, ha a csoport előáll olyan N1,...,Nk normálosztóinak direkt szorzataként, amelyek rendre izomorfak H1,...,Hk-val. A direkt felbontható, ill. direkt felbonthatatlan csoportok fogalma.
Példák: (1) C6, illetve Z6; (2) V [szóhasználat: Abel-csoport `részcsoportok' direkt szorzata, additív esetben direkt összege] , (3) C6 és V direkt felbontásai, C, ill. Cq (q prímhatvány) direkt felbonthatatlan. Sn (n>1) direkt felbonthatatlan. Kritérium arra, hogy véges ciklikus csoportok direkt szorzata ciklikus legyen.
A véges Abel-csoportok alaptétele
A véges Abel-csoportok alaptétele --- `külső' és `belső' direkt szorzat alakban (bizonyítás nélkül), illusztráló példák. Minden ciklikus csoport előáll, mégpedig egyértelműen prímhatványrendű (ciklikus) részcsoportjainak direkt szorzataként, és ebben az előállításban a fellépő prímhatványok páronként különböző prímekhez tartoznak.
Gyűrűk
Példák, alaptulajdonságok
A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).
Részgyűrű, homomorfizmus
A részgyűrű fogalma, jellemzése. Homomorfizmus, izomorfizmus, izomorfia fogalma, alaptulajdonságok, példák.
Ideál, kompatibilis osztályozás, faktorgyűrű
Az ideál fogalma, jellemzése. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma gyűrűkre. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai. A faktorgyűrű fogalma. A természetes homomorfizmus.
Homomorfiatétel és izomorfiatételek
Homomorfizmus magja. Homomorfiatétel. Kapcsolat a csoportelméleti homomorfiatétellel. Az 1. és a 2. izomorfiatétel gyűrűkre (bizonyítás nélkül).
Gyűrű felbontása ideáljai direkt összegére
Gyűrűk (`külső') direkt szorzata, számolás a direkt szorzatban. A direkt tényezőkkel izomorf ideálok a direkt szorzatban. Az ideálok direkt összegének fogalma, kapcsolata a direkt szorzattal. Ekvivalens jellemzése annak, hogy egy gyűrű bizonyos ideáljainak direkt összege. Gyűrűk (`külső') direkt szorzatának és az ideálok direkt összegének kapcsolata. Kapcsolat a megfelelő csoportelméleti fogalmakkal, illetve tételekkel. A direkt felbonthatóság fogalma gyűrűkre. A mod n maradékosztály-gyűrűk direkt felbontásai.
Egyszerű gyűrűk, a test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerűsége
Az egyszerű gyűrű, ill. a maximális ideál fogalma, kapcsolatuk (bizonyítás nélkül). Az egységelemes kommutatív egyszerű gyűrűk éppen a testek. Minden test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerű (bizonyítás nélkül).
Főideálgyűrű faktortestei, testkonstrukciók
Test definíciója, példák. Egy főideálgyűrű faktortestei éppen az irreducibilis elemek által generált főideálok szerinti faktorgyűrűk. Az egész számok gyűrűjének, ill. a test fölötti polinomgyűrűk faktortestei. Számolás az utóbbi faktortestekben. Véges testek konstrukciója Zp[x] (p prím) faktortesteként.
Test karakterisztikája, prímteste
A résztest, ill. a testbővítés fogalma. Résztestek metszete résztest. A prímtest definíciója. A test fölöti egyhatározatlanú polinomgyűrűk faktortestei mint testbővítések. A karakterisztika definíciója. Test karakterisztikája 0 vagy prímszám. Test prímteste izomorf Q-val vagy Zp-vel (p prím) (bizonyítás nélkül).
Egyszerű algebrai testtestbővítés
Az algebrai, ill. transzcendens elem fogalma. Elem minimálpolinomjának fogalma, példák.
Az egyszerű algebrai, ill. egyszerű transzcendens bővítés fogalma. A K[x]/(f) test mint egyszerű algebrai bővítés. Egy K test f minimálpolinomú elemmel való egyszerű bővítése izomorf a K[x]/(f) testtel. A véges fokú bővítés fogalma, a bővítés fokszáma. A fokszámok szorzástétele (bizonyítás nélkül). Az egyszerű algebrai bővítések fokszáma. Példák.
Véges testek
Minden véges test prímhatvány rendű. A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás nélkül). Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test (bizonyítás nélkül). Továbbá minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis f polinom Zp fölött, és a pn elemű test izomorf Zp(x)/(f)-fel.