Absztrakt algebra előadás

2014-2015. tanév, tavaszi félév


2015. febr. 2.

2015. febr. 9.

2015. febr. 16.

2015. febr. 23.

2015. márc. 2.

2015. márc. 9.

2015. márc. 16.

2015. márc. 23.

2015. márc. 30.

2015. ápr. 13.

2015. ápr. 20.

2015. ápr. 27.

2015. máj. 4.

2015. máj. 11.







2015. febr. 2. (100 perc)

Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.

Csoportok

Csoport fogalma. Példák (többek között): általános lineáris csoportok, szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód.

A mozgatott elemek halmaza. A ciklus fogalma.

2015. febr. 9. (100 perc)

Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként. Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.

Csoport ekvivalens definíciói: asszociatív művelet esetén az invertálhatóság ekvivalens az egységelem és inverzelemek létezésével.

2015. febr. 16. (100 perc)

Elem rendje és tulajdonságai. Az n-edfokú szimmetrikus csoport elemeinek rendje. Véges Abel-csoportban van olyan elem, melynek rendje az összes elemrend többszöröse. A részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport, csoport generátorrendszere, részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel.

2015. febr. 23. (100 perc)

Példák: Sn és An néhány generátorrendszere. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.

Az izomorfizmus fogalma. Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje. Homomorfizmus képhalmaza részcsoport. A homomorf kép fogalma. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész).

2015. márc. 2. (100 perc)

Permutációcsoportok, Cayley-tétel.

A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen. Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint (végtelen csoport esetén csak megemlítve). A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.

Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma. Elem és részhalmaz konjugáltjának, ill. részhalmaz konjugálásra való zártságának fogalma. A konjugáltsági reláció.

2015. márc. 9. (100 perc)

A konjugáltsági osztályok Sn-ben. Normálosztók metszete normálosztó, részhalmaz által generált normálosztó, a generált normálosztó megadása a generátorelemekkel, példa. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma csoportokra, kapcsolatuk, példák. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma.

A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma. Homomorfizmus magja normálosztó. A mag szerinti minden egyes mellékosztály összes eleméhez a homomorfizmus ugyanazt az elemet rendeli, és különböző mellékosztályokhoz különböző elemeket rendel. Speciálisan egy homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha magja triviális.

2015. márc. 16. (100 perc)

A csoportelméleti homomorfiatétel. Homomorfizmus megadása G-ről H-ba G egy N normálosztója, H egy H' részcsoportja és egy G/N ---> H' izomorfizmus segítségével, példák. Csoport centruma, Inn G izomorf G/Z(G)-vel.

Az egyszerű csoport fogalma. Az egyszerű Abel-csoportok. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül). A maximális normálosztó fogalma, kapcsolata az egyszerű csoportokkal. Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében.

Gyűrűk

A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).

A részgyűrű fogalma, jellemzése, példák.

2015. márc. 23. (100 perc)

Homomorfizmus, izomorfizmus, izomorfia fogalma, alaptulajdonságok, példák.

Részgyűrűk metszete részgyűrű, részhalmaz által generált részgyűrű, a részhalmaz által generált részgyűrű megadása a részhalmaz elemeivel. Az ideál fogalma, jellemzése. Ideálok metszete ideál, részhalmaz által generált ideál, a részhalmaz által generált ideál megadása a részhalmaz elemeivel. A főideál fogalma, főideálok az egységelemes kommutatív gyűrűkben. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai.

2015. márc. 30. (100 perc)


2015. ápr. 13. (100 perc)


2015. ápr. 20. (elmarad a hosszabbra tartott órák miatt)


2015. ápr. 27. (100 perc)


2015. máj. 4. (50 perc: 10.55-11.45)


2015. máj. 11. (50 perc + vizsgadolgozat) 11.45: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT




Vissza az elejére