Absztrakt algebra előadás

2015-2016. tanév, tavaszi félév


2016. febr. 2.

2016. febr. 9.

2016. febr. 16.

2016. febr. 23.

2016. márc. 1.

2016. márc. 8.

2016. márc. 22.

2016. ápr. 5.

2016. ápr. 12.

2016. ápr. 19.

2016. ápr. 26.

2016. máj. 3.

2016. máj. 10.








2016. febr. 2. (100 perc)

Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.

Csoportok

A művelet fogalma, műveleti tulajdonságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás, egységelem, zéruselem, elem inverze. Multiplikatív és additív írásmód. Csoport fogalma. Példák (többek között): szimmetrikus csoportok, alakzatok szimmetria- és mozgáscsoportja, diédercsoportok.

2016. febr. 9. (105 perc)

Invertálhatóság, asszociatív művelet esetén az invertálhatóság ekvivalens az egységelem és inverzelemek létezésével. Elem egész kitevős hatványozása csoportban. Multiplikatív és additív írásmód.

A mozgatott elemek halmaza. A ciklus fogalma. Az idegen permutációk fogalma, az idegen permutációk felcserélhetők, az idegen permutációk szorzata által mozgatott elemek. Permutációk előállítása páronként idegen ciklusok szorzataként. Példák, szorzás, hatványozás idegen ciklusos alakban. Permutációk előállítása transzpozíciók szorzataként.

2016. febr. 16. (105 perc)

Tétel a transzpozíciók szorzataként történő előállításban fellépő tényezők számának paritásáról. Páros és páratlan permutáció, a paritás és a műveletek kapcsolata. Az n-edfokú alternáló csoport: An.

Elem rendje és tulajdonságai. Az n-edfokú szimmetrikus csoport elemeinek rendje. A részcsoport fogalma, szükséges és elegendő feltétel arra, hogy csoport valamely részhalmaza részcsoport legyen. Részcsoportok metszete részcsoport, részhalmaz által generált részcsoport.

2016. febr. 23. (105 perc)

Részhalmaz által generált részcsoport megadása a részhalmaz elemeivel. Csoport generátorrendszere. Példák: Z, Zn, Dn, Sn és An néhány generátorrendszere. A ciklikus csoport fogalma, elemei. Ciklikus csoport minden részcsoportja ciklikus, a ciklikus csoportok összes részcsoportja.

Az izomorfizmus fogalma. Példák. A homomorfizmus fogalma, példák. Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmusok szorzata és inverze. Csoportok izomorfiája, az izomorfia mint ekvivalenciareláció. A homomorf kép fogalma. Az egységelem és az inverzelemek képe homomorfizmus mellett. Elem és homomorfizmus melletti képének rendje.

2016. márc. 1. (105 perc)

Minden GH homomorfizmus képhalmaza részcsoport H-ban, és így G homomorf képe is. Csoport generátorrendszerének képe a csoport homomorf képének generátorrendszere. Minden ciklikus csoport izomorf Z-vel vagy Zn-nel (n pozitív egész). Permutációcsoportok, Cayley-tétel.

A komplexus fogalma, komplexusok szorzata és inverze. A részcsoportok jellemzése komplexusokkal. A részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztály fogalma, a bal, illetve jobb oldali mellékosztályok osztályozást határoznak meg. Szükséges és elegendő feltétel arra, hogy két elem ugyanabba a bal, illetve jobb oldali mellékosztályba essen. Az adott részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályok azonos elemszámúak (számosságúak). Az adott részcsoport szerinti bal oldali mellékosztályozás szerint ugyanannyi mellékosztály van, mint a jobb oldali mellékosztályozás szerint (végtelen csoport esetén csak megemlítve). A részcsoport indexének fogalma. Lagrange-tétel és következményei.

Példa arra, hogy egy részcsoport szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás általában nem esik egybe. Azon részcsoportok jellemzése, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik, a normálosztó fogalma.

2016. márc. 8. (105 perc)

Elem és részhalmaz konjugáltjának, ill. részhalmaz konjugálásra való zártságának fogalma. A konjugáltsági reláció. A konjugáltsági osztályok Sn-ben. Normálosztók metszete normálosztó, részhalmaz által generált normálosztó, a generált normálosztó megadása a generátorelemekkel, példák. A kongruencia és a kompatibilis osztályozás fogalma, kapcsolatuk, példák. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma.

A faktorcsoport a csoport homomorf képe. A csoport-homomorfizmus magjának fogalma. Homomorfizmus magja normálosztó. A mag szerinti minden egyes mellékosztály összes eleméhez a homomorfizmus ugyanazt az elemet rendeli, és különböző mellékosztályokhoz különböző elemeket rendel. A csoportelméleti homomorfiatétel.

2016. márc. 22. (100 perc)

Homomorfizmus megadása G-ről H-ba G egy N normálosztója, H egy H' részcsoportja és egy G/N ---> H' izomorfizmus segítségével, példa.

Az egyszerű csoport fogalma. Az egyszerű Abel-csoportok. Az An csoport egyszerű tetszőleges n>4 esetén (bizonyítás nélkül). A maximális normálosztó fogalma, kapcsolata az egyszerű csoportokkal. Az egyszerű csoportok szerepe a véges csoportok elméletében.

Gyűrűk

A gyűrű definíciója, speciális gyűrűk, példák (a korábban tanultak felelevenítése).

A részgyűrű fogalma, jellemzése, példák. Az ideál fogalma, jellemzése. Homomorfizmus fogalma, alaptulajdonságok, példák.

2016. ápr. 5. (100 perc)

Homomorfizmusok szorzata, izomorfizmus inverze, izomorfia. Részgyűrűk metszete részgyűrű, részhalmaz által generált részgyűrű, a részhalmaz által generált részgyűrű megadása a részhalmaz elemeivel. Ideálok metszete ideál, részhalmaz által generált ideál, a részhalmaz által generált ideál megadása a részhalmaz elemeivel. A főideál fogalma, főideálok az egységelemes kommutatív gyűrűkben. Integritástartományokban oszthatósági tulajdonságok megadása főideálokkal. A főideálgyűrű fogalma, minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű, Z[x] nem főideálgyűrű. Az ideál szerinti osztályozás. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen a gyűrű ideál szerinti osztályozásai.

2016. ápr. 12. (100 perc)

A faktorgyűrű fogalma. A természetes homomorfizmus. Az euklideszi gyűrűk faktorgyűrűi, számolás ezekben a faktorgyűrűkben.

Homomorfizmus magja. Homomorfizmus magja ideál. Minden egyes mag szerinti osztály összes eleméhez a homomorfizmus ugyanazt az elemet rendeli, és különböző osztályokhoz különböző elemeket rendel. Speciálisan egy homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha magja triviális. Homomorfiatétel. Kapcsolat a csoportelméleti homomorfiatétellel. Homomorfizmus megadása R-ről S-be R egy I ideálja, S egy S' részgyűrűje és egy R/I ---> S' izomorfizmus segítségével.

Az egyszerű gyűrű, ill. a maximális ideál fogalma, kapcsolatuk. Az egységelemes kommutatív egyszerű gyűrűk éppen a testek. Minden test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerű (bizonyítás nélkül).

Egy főideálgyűrű faktortestei éppen az irreducibilis elemek által generált főideálok szerinti faktorgyűrűk. Az egész számok gyűrűjének, ill. a test fölötti polinomgyűrűk faktortestei. Véges testek konstrukciója Zp[x] (p prím) faktortesteként, valamint a komplex számtest mint R[x] faktorteste. A K test fölötti polinomgyűrűk faktortestei mint a K testnél bővebb testek.

Test karakterisztikájának fogalma. Test karakterisztikája 0 vagy prímszám.

2016. ápr. 19. (elmarad a hosszabbra tartott órák miatt)


2016. ápr. 26. (100 perc)

A résztest, ill. a testbővítés fogalma. A test fölötti egyhatározatlanú polinomgyűrűk faktortestei mint testbővítések. Résztestek metszete résztest. A prímtest definíciója. Test prímteste izomorf Zp-vel (p prím) vagy Q-val.

Testbővítés algebrai elemének fogalma. Elem minimálpolinomjának fogalma, példák. Az egyszerű algebrai testbővítés, a K[x]/(f) test mint egyszerű algebrai bővítés. Egy K test f minimálpolinomú elemmel való egyszerű algebrai bővítése izomorf a K[x]/(f) testtel. A véges fokú testbővítés fogalma, a bővítés fokszáma. Az egyszerű algebrai testbővítés fokszáma megegyezik az adjungált elem minimálpolinomjának fokszámával. A véges fokú testbővítések minden eleme algebrai. A fokszámok szorzástétele (bizonyítás nélkül).

Minden véges test prímhatvány rendű. A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás nélkül. Minden véges test izomorf valamely Zp[x]/(f) testtel, ahol p prím és f irreducibilis polinom Zp fölött; sőt, f választható úgy, hogy az x+(f) elem generálja Zp[x]/(f) multiplikatív csoportját. Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test (bizonyítás nélkül). Továbbá minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis f polinom Zp fölött, és a pn elemű test izomorf Zp[x]/(f)-fel.

2016. máj. 3. (50 perc --- 16.00-16.50)

Csoportok (`külső') direkt szorzata, számolás a direkt szorzatban. A direkt szorzat projekciói, magjuk. A direkt tényezőkkel izomorf normálosztók a direkt szorzatban, és ezek elhelyezkedése a direkt szorzaton belül. A `belső' direkt szorzat fogalma: egy G csoport az N1,N2 normálosztóinak (`belső') direkt szorzata, ha G= N1N2, és N1,N2 metszete triviális. Ekvivalens jellemzései annak, hogy egy csoport bizonyos normálosztóinak direkt szorzata (a több tényezős eset is megemlítve). A két fogalom kapcsolata: egy csoport pontosan akkor izomorf a H1,H2 csoportok direkt szorzatával, ha a csoport előáll olyan N1,N2 normálosztóinak direkt szorzataként, amelyek rendre izomorfak H1,H2-vel.

2016. máj. 10. (50 perc + 16.00: FÉLÉVKÖZI ÍRÁSBELI VIZSGADOLGOZAT)

A direkt felbontható, ill. direkt felbonthatatlan csoportok fogalma. Példák: (1) C6 (illetve Z6) és V direkt felbontásai [szóhasználat: Abel-csoport `részcsoportok' direkt szorzata, additív esetben direkt összege] , (2) C, ill. Cq (q prímhatvány) direkt felbonthatatlan. Ha n=m1...mk, ahol m1,...,mk, páronként relatív prím természetes számok, akkor minden n rendű ciklikus csoport előáll, mégpedig egyértelműen m1,...,mk rendű (ciklikus) részcsoportjainak direkt szorzataként.

A véges Abel-csoportok alaptétele --- `külső' és `belső' direkt szorzat alakban (bizonyítás nélkül), illusztráló példák. Adott rendű Abel-csoportok megadása izomorfia erejéig.

Vissza az elejére