Absztrakt algebra előadás
2020-2021. tanév, tavaszi félév
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Tárgy tematikájának ismertetése, előfeltételek, tárgy teljesítése, stb.
Ismétlés: A múlt félévben csoportokról tanult fogalmak és összefüggések áttekintése: a csoport fogalma, multiplikatív és additív írásmód, elemrend – speciálisan az Sn-beli elemek rendje –, részcsoport és izomorfia – speciálisan Sk-val (k<n) és Dn-nel izomorf permutációcsoportok Sn-ben. –, részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange-tétel. A gyűrű fogalma, néhány összefüggés egységelemes gyűrűben.
Algebrai struktúrák – csoportok és gyűrűk
Részalgebra – részcsoport, részgyűrű –, generátorrendszer
A k-változós művelet (k nemnegatív egész) és komplexusművelet fogalma, példák. Az algebrai struktúra (röviden algebra) fogalma, példák: csoportok mint egy-, illetve háromműveletes algebrák, gyűrűk mint két-, illetve négyműveletes algebrák.
Az algebra típusának fogalma. A részalgebra fogalma, példák: csoportok mint egy, illetve három műveletes algebrák, gyűrűk mint két, illetve négy műveletes algebrák részalgebrái, kapcsolatuk, részcsoportok és részgyűrűk. Részalgebrák metszete részalgebra, részhalmaz által generált részalgebra, a részhalmaz által generált részalgebra megadása a részhalmaz elemeivel. Alkalmazás a részcsoportok, részgyűrűk és egységelemes részgyűrűk esetére. Példák.
Kongruencia, kompatibilis osztályozás, faktoralgebra – normálosztó, faktorcsoport, ideál, faktorgyűrű
Kongruencia és kompatibilis osztályozás algebrákon, kapcsolatuk. A faktoralgebra fogalma. Csoportok kompatibilis osztályozásainak alaptulajdonságai, a normálosztó fogalma. A normálosztók ekvivalens jellemzései, pl. a normálosztók éppen azok a részcsoportok, amelyek szerinti bal és jobb oldali mellékosztályozás egybeesik. Egy csoport kompatibilis osztályozásai éppen a csoport normálosztó szerinti osztályozásai. A faktorcsoport fogalma.
Példák. Minden 2 indexű részcsoport normálosztó. Egy alkalmazás: A4-ben nincs 6 rendű részcsoport. Elem konjugáltjai, konjugáltsági reláció. A konjugáltsági reláció ekvivalencia, elem konjugáltsági osztálya. Normálosztók és konjugáltsági osztályok. A konjugáltsági reláció az Sn csoportokon. Belső automorfizmusok, csoport automorfizmusainak, illetve belső automorfizmusainak csoportja.
A részhalmaz által generált normálosztó. Példák. Gyűrűk kompatibilis osztályozásainak alaptulajdonságai, az ideál és az ideál szerinti osztályozás fogalma. Az ideálok ekvivalens jellemzése, minden ideál részgyűrű. Egy gyűrű kompatibilis osztályozásai éppen az ideál szerinti osztályozásai. A faktorgyűrű fogalma, példák. A részhalmaz által generált ideál, a részhalmaz által generált ideál megadása a részhalmaz elemeivel. A főideál fogalma, főideálok az egységelemes kommutatív gyűrűkben. Integritástartományokban oszthatósági tulajdonságok megadása főideálokkal.
Néhány normálosztókra és ideálokra vonatkozó analóg tulajdonság: normálosztók metszete normálosztó, ideálok metszete ideál; normálosztók komplexusszorzata normálosztó, ideálok összege ideál; ha két normálosztó metszete triviális, akkor elemeik felcserélhetők, és ha két ideál metszete triviális, akkor elemeik szorzata 0.
Homomorfizmus, homomorfiatétel
A homomorfizmus fogalma azonos típusú algebrákra. A csoportok mint egyműveletes algebrák és a csoportok mint háromműveletes algebrák közötti homomorfizmusok ugyanazok. A gyűrűk mint kétműveletes algebrák és a gyűrűk mint négyműveletes algebrák közötti homomorfizmusok ugyanazok. Csoporthomomorfizmusok és elemrendek kapcsolata. Példák. Természetes homomorfizmus tetszőleges algebráról tetszőleges faktoralgebrájára.
Homomorfizmusok szorzata homomorfizmus, izomorfizmusok szorzata és inverze izomorfizmus. Az izomorfia reláció fogalma és tulajdonságai, példák. Homomorfizmus képhalmaza részalgebra – a homomorfizmus képalgebrája –, melyet az algebra bármely generátorrendszerének képe generál. A homomorf kép fogalma, példák. Egy algebra minden faktoralgebrája az algebra homomorf képe. Minden algebra homomorfizmus melletti képalgebrája az algebra homomorf képe. Következésképpen minden algebra homomorfizmus előáll egy szürjektív és egy tartalmazás-homomorfizmus szorzataként. Abel-csoport, kommutatív gyűrű, végesen generált algebra [csoport, ill. gyűrű], továbbá egységelemes gyűrű minden homomorf képe is az. Algebrák közötti homomorfizmus magjának fogalma, a mag kongruenciareláció. Csoportok, illetve gyűrűk közötti homomorfizmus magjának fogalma, a mag normálosztó, illetve ideál. Homomorfiatétel algebrákra. Homomorfiatétel csoportokra, illetve gyűrűkre. Következésképpen minden algebra homomorfizmus előáll egy természetes homomorfizmus, egy izomorfizmus és egy tartalmazás-homomorfizmus szorzataként.
Példák: alkalmazás adott csoportok, illetve gyűrűk közötti homomorfizmusok meghatározására. Az egyszerű csoport, illetve gyűrű fogalma, az egyszerű Abel-csoportok, illetve egyszerű egységelemes kommutatív gyűrűk leírása. Az alternáló csoportok, illetve a teljes mátrixgyűrűk egyszerűsége (bizonyítás nélkül).
Algebrák direkt szorzata, csoport felbontása normálosztói direkt szorzatára, gyűrű felbontása ideáljai direkt összegére, a véges Abel-csoportok alaptétele (ismertetés)
Azonos típusú algebrák direkt szorzata, csoportok, illetve gyűrűk direkt szorzata csoport, illetve gyűrű. Csoportok, illetve gyűrűk (`külső') direkt szorzatainak bizonyos projekciói és azok magjai. A direkt tényezőkkel izomorf normálosztók, illetve ideálok a direkt szorzatban, valamint elhelyezkedésük a direkt szorzaton belül. Csoportok, illetve gyűrűk `belső' direkt szorzatának fogalma. Ekvivalens jellemzései annak, hogy egy csoport bizonyos normálosztóinak direkt szorzata.
Csoportok `külső' és `belső' direkt szorzatának kapcsolata. Gyűrűk `külső' direkt szorzatának és `belső' direkt összegének kapcsolata. Példák. Ciklikus csoportok direkt szorzata, ciklikus csoportok direkt felbontásai, valamint a mod n maradékosztály-gyűrűk direkt felbontásai. Direkt felbonthatatlan csoportok és gyűrűk, példák. A véges Abel-csoportok alaptétele --- `külső' és `belső' direkt szorzat alakban (bizonyítás nélkül), illusztráló példák. Adott rendű Abel-csoportok megadása izomorfia erejéig. Sylow-tételek (kitekintés).
Integirtástartományok
Emlékeztető a múlt félévben tanultakra, valamint az oszthatóság és főideál kapcsolatára; speciálisan a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös fogalmának megadása főideálokkal. Ha egy integritástartományban bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, akkor benne minden irreducibilis elem prímelem. A főideálgyűrű fogalma. Főideálgyűrűben bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója. Ideálok összege és metszete főideálgyűrűben. Az ax+by=c egyenlet megoldhatósága főideálgyűrűben. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Példák. A Gauss-gyűrű fogalma, oszthatóság, legnagyobb közös ösztó Gauss-gyűrűben. Gauss-gyűrűk jellemzése. Minden főideálgyűrű Gauss-gyűrű. Minden Gauss-gyűrű feletti polinomgyűrű Gauss-gyűrű (nem bizonyítjuk). Multiplikatív inverz főideálgyűrű faktorgyűrűiben, főideálgyűrű faktortestei.
Példák, speciálisan test feletti polinomgyűrűk faktorgyűrűi és faktortestei. Integritástartomány hányadosteste. A hányadostest „egyértelműsége”. Példák.
Testek és alkalmazásaik
Egyszerű testbővítések, véges testek
Test karakterisztikájának fogalma, minden test karakterisztikája 0 vagy prímszám. Résztest, részhalmaz által generált résztest. Test prímtestének fogalma. Minden test prímteste izomorf Zp-vel (p prím) vagy Q-val. Emlékeztető a testbővítés és fokszámának fogalmára, az egyszerű testbővítésre, az algebrai és transzcendens elem fogalmára. Az algebrai elem minimálpolinomjának fogalma, a minimálpolinom tulajdonságai. Az egyszerű algebrai és az egyszerű transzcendens bővítés fogalma. Az egyszerű algebrai bővítés fokszáma megegyezik az adjungált elem minimálpolinomjának fokszámával, az egyszerű transzcendens bővítés nem véges fokú.
Kapcsolat a K test feletti polinomgyűrű faktortestei és K egyszerű algebrai bővítései között, valamint kapcsolat a K test feletti racionális törtek teste és K egyszerű transzcendens bővítései között. Emlékeztető a fokszámtételre. Kapcsolat az egyszerű testbővítések elemeinek minimálpolinomja és az adjungált elem minimálpolinomja között: az előbbi fokszáma osztja az utóbbiét. Példa Zp egyszerű algebrai bővítésében elem inverzének meghatározására (új fajta látás- és írásmód). Véges testek elemszáma prímhatvány, kapcsolat a test és résztestének elemszáma között. Tétel: A véges testek multiplikatív csoportja ciklikus (bizonyítás nélkül). Következmény: Minden véges test izomorf valamely Zp[x]/(f) testtel, ahol p prím és f irreducibilis polinom Zp fölött. Tétel: Tetszőleges p prím és n pozitív egész esetén létezik, méghozzá izomorfiától eltekintve egyetlen pn elemű test (bizonyítás nélkül). Következmény: Minden p prím és n pozitív egész esetén létezik n-edfokú irreducibilis polinom Zp fölött. Továbbá ha f és g is ilyen polinom, akkor a Zp[x]/(f) és Zp[x]/(g) testek izomorfak.
Geometriai szerkeszthetőség
Emlékeztető: adott ponthalmazból megszerkeszthető pont fogalma, a szerkesztés alapteste, a négyzetgyökbővítés fogalma; Tétel: Egy pont pontosan akkor megszerkeszthető egy adott ponthalmazból, ha mindkét koordinátája benne van a szerkesztés alaptestének valamely valós négyzetgyökbővítésében. Példák.
Elemi bizonyítás arra, hogy egy P pont nem szerkeszthető meg a H ponthalmazból, ha P valamelyik koordinátája harmadfokú irreducibilis polinom gyöke a H-hoz tartozó valós számtest felett. Pont megszerkeszthetőségének algebrai átfogalmazása Gauss-sík (komplex számok) segítségével. Tétel (bizonyítás nélkül): Egy pont pontosan akkor megszerkeszthető az adott ponthalmazból, ha a hozzá tartozó komplex szám benne van a szerkesztés komplex alaptestének valamely négyzetgyökbővítésében. Például a szabályos n-szög megszerkeszthetősége ekvivalens azzal, hogy az egyik (és persze akkor mindegyik) primitív n-edik komplex egységgyök benne van Q valamely négyzetgyökbővítésében. Szükséges és elegendő feltétel a szabályos n-szög szerkeszthetőségére (szükségesség bizonyítása, elegendőség bizonyítása a p=5 esetre). Egyszerű szerkesztési eljárás a szabályos öt- és tízszög megszerkesztésére.
A Galois-elmélet elemei
Emlékeztető: gyökképlet a legfeljebb negyedfokú polinomok esetében, nincs gyökképlet magasabb fokú esetben. Polinom felbontási testének fogalma, létezésük és egyértelműségük, példák. A véges testek mint felbontási testek. Emlékeztető: radikálbővítések.
Gyökképlet keresése mint prímtest feletti racionális törtek teste feletti polinom radikálbővítéseinek vizsgálata. A továbbiakban csak 0 karakterisztikájú testekkel foglalkozunk. A normális testbővítés fogalma, kapcsolata a felbontási testekkel. Testbővítés Galois-csoportja. Polinom felbontási testének Galois-csoportja mint a gyökök permutációcsoportja. Normális testbővítések sorozatához tartozó Galois-csoportsorozat tulajdonságai. Minden négyzetgyökbővítés normális, a szerkeszthetőségre vonatkozó kritérium Galois-elméleti formája. A radikálbővítéseknek mint egyszerű radikálbővítések sorozatának megfelelő normális testbővítés-sorozat és Galois-csoportsorozatának sajátossága. A feloldható csoport fogalma, példák. Galois tétele: Egy K test feletti f polinom gyökei pontosan akkor vannak benne K egy radikálbővítésében, ha f felbontási testének mint K bővítésének Galois-csoprtja feloldható. Rövid ismertetés arról, hogy ennek segítségével hogyan látható be, hogy a legalább ötödfokú polinomnak nincsen gyökképlete.