纷1. feladat

A Newton iteracio keplete:
x_k+1 = x_k - f(x_k)/f'(x_k)

gyok(11) kozelitesenel az f(x) = x^2 - 11 = 0
egyenletet oldjuk meg. Ekkor f'(x) = 2x, igy
a Newton iteracio:
x_k+1 = x_k - (x_k ^ 2 - 11)/( 2 x_k) =
        x_k - x_k / 2 + 11 / (2 x_k) =
        x_k / 2 + 11 / (2 * x_k)

Az iteracio x0 = 2-bol:
ans =  2
ans =  3.7500
ans =  3.3417
ans =  3.3167
ans =  3.3166

A kozelito megoldasunk gyok(11)-re tehat: 3.3166

Ellenorzes: 3.3166^2 =
ans =  11.000

2. feladat


f =

@(x) (x + 1) .^ 2 + sin (x)


Szuksegunk lesz f derivaltjara:
df =

@(x) 2 * (x + 1) + cos (x)


Latszik a ket gyok es fele lejto fuggvenyszakaszok.
Mivel 6 tizedesjegynyni pontossagot garantalni kell,
igy noveljuk az Octave kimenetenek pontossagat:
output_precision(15)

Kisebb gyok kozelitese:
ans = -5
ans = -2.80220556923852
ans = -2.16116784931677
ans = -1.98139157871962
ans = -1.96181187896209
ans = -1.96156907241037
ans = -1.96156903499413
ans = -1.96156903499413
ans = -1.96156903499413
ans = -1.96156903499413
ans = -1.96156903499413

A becslesunk: -1.96156903499413

Hogy igazoljuk, hogy 6 tizedesjeggyel helyes, meg kell
neznunk, hogy elojelet valt e a fuggveny a
[-1.9615689 -1.9615691] intervallumon.

f(-1.9615689) =
ans =   -3.11031982835885e-07

f(-1.9615691) =
ans =    1.49776207769570e-07

Nagyobb gyok kozelitese:
ans =  5
ans =  2.14734293435672
ans =  0.278655716479216
ans = -0.264159400546173
ans = -0.379204215425476
ans = -0.386209842341813
ans = -0.386236870241758
ans = -0.386236870644799
ans = -0.386236870644799
ans = -0.386236870644799
ans = -0.386236870644799

A becslesunk: -0.386236870644799

Hogy igazoljuk, hogy 6 tizedesjeggyel helyes, meg kell
neznunk, hogy elojelet valt e a fuggveny a
[-0.3862367 -0.3862368] intervallumon.

f(-0.3862367) =
ans =    3.67544950807819e-07

f(-0.3862369) =
ans =   -6.32269757105952e-08

Valoban egyik pozitiv, masik negativ, igy a becslesunk
6 tizedesjegynyileg legalabb pontos.

3. feladat



Legyen az x tengely a honap napjanak szama, y tengely a mert vizallas.
x =

    2    4    8   10   12

y =

   186   289   329   351   440


Elsofoku illesztesnel a 6-hoz ket legkozelebbi adatpontot hasznaljuk: 4, 8

elsofoku = polyfit(x(2:3), y(2:3), 1)


Harmadfoku illesztesnel a 6-hoz a negy legkozelebbi adatpontot hasznaljuk: 2, 4, 8, 10

harmadfoku = polyfit(x(1:4), y(1:4), 3)


Negyedfoku illesztesnel mind az 5 adatpontot hasznaljuk

negyedfoku = polyfit(x, y, 4)
elsofoku =

    10.0000000000000   248.9999999999999

harmadfoku =

   8.85416666666664e-01  -1.93125000000000e+01   1.42583333333333e+02  -2.90000000000005e+01

negyedfoku =

 Columns 1 through 4:

   1.40624999999999e-02   5.47916666666667e-01  -1.65562500000000e+01   1.33808333333333e+02

 Column 5:

  -1.99999999999997e+01


A becslesek a majus 6-ai vizallasra:

polyval(elsofoku, 6) =
ans =  309.000000000000

polyval(harmadfoku, 6) =
ans =  322.500000000000

polyval(negyedfoku, 6) =
ans =  323.400000000000

A becslesek a majus 16-ai vizallasra:

polyval(elsofoku, 16) =
ans =  409

polyval(harmadfoku, 16) =
ans =  934.999999999995

polyval(negyedfoku, 16) =
ans =  1048.40000000000

Az interpolacio az interpolacios intervallumon kivul mar nem ad
ertekelheto eredmenyt altalaban. Igy a 3-ad/4-ed foku polinom erteke, mely
szerint Szeged viz ala kerul holnapra irrelevans.

+. feladat



Exponencialisnak latszik a tendencia, vegyuk a logaritmust.

Parabolanak latszik a kitevo, masodfoku polinomot illesztunk.
mo =

   9.98756371570038e-01  -9.98200029636729e-01   1.04977572625644e-02