>> ZH_20190403 ============================= 1. Feladat - reszleges foelemkivalasztasos Gauss eliminacio A = 2 4 -2 -2 1 2 4 -3 -3 -3 8 -2 -1 1 6 -3 b = -4 5 7 7 Kibovitett matrix Ab: Ab = 2 4 -2 -2 -4 1 2 4 -3 5 -3 -3 8 -2 7 -1 1 6 -3 7 a -3 a reszleges foelem, igy 1 <-> 3. sor csereje temp = 2 4 -2 -2 -4 Ab = -3 -3 8 -2 7 1 2 4 -3 5 -3 -3 8 -2 7 -1 1 6 -3 7 Ab = -3 -3 8 -2 7 1 2 4 -3 5 2 4 -2 -2 -4 -1 1 6 -3 7 Elso oszlop atlo alatti elemeinek nullazasa: Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 6.66667 -3.66667 7.33333 2.00000 4.00000 -2.00000 -2.00000 -4.00000 -1.00000 1.00000 6.00000 -3.00000 7.00000 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 6.66667 -3.66667 7.33333 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 -1.00000 1.00000 6.00000 -3.00000 7.00000 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 6.66667 -3.66667 7.33333 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 2.00000 3.33333 -2.33333 4.66667 Masodik oszlopban barmelyik 2-es a foelem, igy 2 <-> 3. sor temp = 0.00000 1.00000 6.66667 -3.66667 7.33333 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 2.00000 3.33333 -2.33333 4.66667 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 1.00000 6.66667 -3.66667 7.33333 0.00000 2.00000 3.33333 -2.33333 4.66667 Masodik oszlop atlo alatti elemeinek nullazasa: Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 0.00000 5.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -2.33333 4.66667 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 0.00000 5.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab diagonalis alakra kerult igy a 3. oszlopban nem kell nullazni Visszahelyettesites: 4. egyenlet: (4,4) latszatra 1 de gyozodjunk meg rola Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 0.00000 5.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 3. egyenlet: Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 0.00000 1.00000 -0.40000 1.40000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 2.00000 3.33333 -3.33333 0.66667 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 2. egyenlet: Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 1.66667 -1.66667 0.33333 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 1.66667 0.00000 7.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = -3.00000 -3.00000 8.00000 -2.00000 7.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 1. egyenlet: Ab = 1.00000 1.00000 -2.66667 0.66667 -2.33333 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = 1.00000 1.00000 -2.66667 0.00000 -5.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = 1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 3.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Ab = 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 3.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 4.00000 Leolvashato a megoldas az 5. oszlopbol: ans = 1.00000 2.00000 3.00000 4.00000 Ellenorzes: ans = -4.0000 5.0000 7.0000 7.0000 b = -4 5 7 7 ============================= 2. Feladat - Jacobi iteracio Kezdeti becsles: X0 = 0 0 0 Egyenlet Ax = b: A = 8 2 4 3 5 1 2 1 4 b = -16 4 -12 Igy a Jacobi iteracio egyenletei: JacX1 = @(x1, x2, x3) (-16 - 2 * x2 - 4 * x3) / 8 JacX2 = @(x1, x2, x3) (4 - 3 * x1 - 1 * x3) / 5 JacX3 = @(x1, x2, x3) (-12 - 2 * x1 - 1 * x2) / 4 Elso iteracio: X1 = -2 0 0 X1 = -2.00000 0.80000 0.00000 X1 = -2.00000 0.80000 -3.00000 Masodik iteracio: X2 = -0.70000 0.00000 0.00000 X2 = -0.70000 2.60000 0.00000 X2 = -0.70000 2.60000 -2.20000 ============================= 3. Feladat - Gersgorin korok A = 2 - 1i 2 + 0i 1 + 0i 1 + 0i 0 + 2i 0 + 0i 0 + 1i 1 + 0i 2 + 0i 3x3-as matrix -> 3 db Gersgorin kor, soronkent egy 1. kor ------ - kozeppontja: ans = 2 - 1i - sugara: ans = 3 2. kor ------ - kozeppontja: ans = 0 + 2i - sugara: ans = 1 3. kor ------ - kozeppontja: ans = 2 - sugara: ans = 2 A 3 kor felrajzolasa utan latszik, hogy 1 es 2 + 2i nem kizarhato, de -2 es -2-2i egyik korben sincs benne igy nem lehet sajatertek. ============================= 4. Feladat - Felezo modszer f = @(x) x .^ 2 - 3 Alacsony hossz es ertektoleranciaval az eddig hasznalt program biztosan lep 7-et, de amugy kezzel se nehez megcsinalni a lepeseket. Iteracio | a | f(a) | b | f(b) | b - a | c | f(c) | ------------------------------------------------------------------------------ 1 1.0000 -2.0000 2.0000 1.0000 1.0000 1.5000 -0.7500 2 1.5000 -0.7500 2.0000 1.0000 0.5000 1.7500 0.0625 3 1.5000 -0.7500 1.7500 0.0625 0.2500 1.6250 -0.3594 4 1.6250 -0.3594 1.7500 0.0625 0.1250 1.6875 -0.1523 5 1.6875 -0.1523 1.7500 0.0625 0.0625 1.7188 -0.0459 6 1.7188 -0.0459 1.7500 0.0625 0.0312 1.7344 0.0081 7 1.7188 -0.0459 1.7344 0.0081 0.0156 1.7266 -0.0190 ans = 1.7266 ============================= +. Feladat - Gauss-Seidel iteracio Kezdeti becsles: X0 = 0 0 0 Egyenlet Ax = b: A = 8 2 4 3 5 1 2 1 4 b = -16 4 -12 A Gauss-Seidel iteracio egyenletei ugyanazok mint a Jacobie: JacX1 = @(x1, x2, x3) (-16 - 2 * x2 - 4 * x3) / 8 JacX2 = @(x1, x2, x3) (4 - 3 * x1 - 1 * x3) / 5 JacX3 = @(x1, x2, x3) (-12 - 2 * x1 - 1 * x2) / 4 A kulonbseg, hogy a reszeredmenyeket folyamatosan felhasznaljuk Elso iteracio: X1 = -2 0 0 X1(2) kiszamitasanal mar hasznaljuk X1(1)-et X1 = -2 2 0 X1(3) kiszamitasanal mar hasznaljuk X1(1)-et es X1(2)-t X1 = -2.0000 2.0000 -2.5000 Masodik iteracio: X2 = -1.25000 0.00000 0.00000 X2 = -1.25000 2.05000 0.00000 X2 = -1.2500 2.0500 -2.8875 Tobb Gauss-Seidel iteracio elvegzese: X = 0 0 0 1. iteracio: X = -2 0 0 X = -2 2 0 X = -2.0000 2.0000 -2.5000 2. iteracio: X = -1.2500 2.0000 -2.5000 X = -1.2500 2.0500 -2.5000 X = -1.2500 2.0500 -2.8875 3. iteracio: X = -1.0688 2.0500 -2.8875 X = -1.0688 2.0187 -2.8875 X = -1.0688 2.0187 -2.9703 4. iteracio: X = -1.0195 2.0187 -2.9703 X = -1.0195 2.0058 -2.9703 X = -1.0195 2.0058 -2.9917 5. iteracio: X = -1.0056 2.0058 -2.9917 X = -1.0056 2.0017 -2.9917 X = -1.0056 2.0017 -2.9976 6. iteracio: X = -1.0016 2.0017 -2.9976 X = -1.0016 2.0005 -2.9976 X = -1.0016 2.0005 -2.9993 7. iteracio: X = -1.0005 2.0005 -2.9993 X = -1.0005 2.0001 -2.9993 X = -1.0005 2.0001 -2.9998 8. iteracio: X = -1.0001 2.0001 -2.9998 X = -1.0001 2.0000 -2.9998 X = -1.0001 2.0000 -2.9999 9. iteracio: X = -1.0000 2.0000 -2.9999 X = -1.0000 2.0000 -2.9999 X = -1.0000 2.0000 -3.0000 10. iteracio: X = -1.0000 2.0000 -3.0000 X = -1.0000 2.0000 -3.0000 X = -1.0000 2.0000 -3.0000 Az 5. iteracio utan mar minden ertek 0.01-nel kozelebb van a megoldashoz, ami [-1; 2; 3] Tobb Jacobi iteracio elvegzese: X = 0 0 0 1. iteracio: Xuj = 0 0 0 Xuj = -2 0 0 Xuj = -2.00000 0.80000 0.00000 Xuj = -2.00000 0.80000 -3.00000 X = -2.00000 0.80000 -3.00000 2. iteracio: Xuj = -2.00000 0.80000 -3.00000 Xuj = -0.70000 0.80000 -3.00000 Xuj = -0.70000 2.60000 -3.00000 Xuj = -0.70000 2.60000 -2.20000 X = -0.70000 2.60000 -2.20000 3. iteracio: Xuj = -0.70000 2.60000 -2.20000 Xuj = -1.5500 2.6000 -2.2000 Xuj = -1.5500 1.6600 -2.2000 Xuj = -1.5500 1.6600 -3.3000 X = -1.5500 1.6600 -3.3000 4. iteracio: Xuj = -1.5500 1.6600 -3.3000 Xuj = -0.76500 1.66000 -3.30000 Xuj = -0.76500 2.39000 -3.30000 Xuj = -0.76500 2.39000 -2.64000 X = -0.76500 2.39000 -2.64000 5. iteracio: Xuj = -0.76500 2.39000 -2.64000 Xuj = -1.2775 2.3900 -2.6400 Xuj = -1.2775 1.7870 -2.6400 Xuj = -1.2775 1.7870 -3.2150 X = -1.2775 1.7870 -3.2150 6. iteracio: Xuj = -1.2775 1.7870 -3.2150 Xuj = -0.83925 1.78700 -3.21500 Xuj = -0.83925 2.20950 -3.21500 Xuj = -0.83925 2.20950 -2.80800 X = -0.83925 2.20950 -2.80800 7. iteracio: Xuj = -0.83925 2.20950 -2.80800 Xuj = -1.1484 2.2095 -2.8080 Xuj = -1.1484 1.8652 -2.8080 Xuj = -1.1484 1.8652 -3.1328 X = -1.1484 1.8652 -3.1328 8. iteracio: Xuj = -1.1484 1.8652 -3.1328 Xuj = -0.89991 1.86515 -3.13275 Xuj = -0.89991 2.11558 -3.13275 Xuj = -0.89991 2.11558 -2.89210 X = -0.89991 2.11558 -2.89210 9. iteracio: Xuj = -0.89991 2.11558 -2.89210 Xuj = -1.0828 2.1156 -2.8921 Xuj = -1.0828 1.9184 -2.8921 Xuj = -1.0828 1.9184 -3.0789 X = -1.0828 1.9184 -3.0789 10. iteracio: Xuj = -1.0828 1.9184 -3.0789 Xuj = -0.94012 1.91837 -3.07894 Xuj = -0.94012 2.06549 -3.07894 Xuj = -0.94012 2.06549 -2.93817 X = -0.94012 2.06549 -2.93817 A 10. iteracio utan sincsen meg egyik ertek sem 0.01-nel kozelebb a megoldashoz.