>> ZH_20190227 ============================= 1. Feladat - matrixszorzas A = 2 3 1 3 1 1 2 -1 2 B = 1 7 0 3 -1 1 A * B ans = 1 24 2 25 0 13 A masodik szorzasnal a baloldali tenyezo igazabol az elozo jobb oldal transzponaltja B^T ans = 1 0 -1 7 3 1 B^T * A ans = 0 4 -1 25 23 12 ============================= 2. Feladat - balfelso fominorok A = 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 3 db matrix determinansat kellett kiszamitani. =========== 1. a balfelso sarokbol indulo 1x1-es matrixot ans = 2 Ennek determinansa: ans = 2 =========== 2. a balfelso sarokbol indulo 2x2-es matrixot ans = 2 -1 -1 2 Ennek determinansa: ans = 3.0000 =========== 3. a balfelso sarokbol indulo 3x3-as matrixot, azaz az eredeti matrixot A = 2 -1 0 -1 2 -1 0 -1 2 Ennek determinansa: ans = 4.0000 Ez utobbi determinanst a kovetkezo modon szamitjuk ki kezzel, elso sor szerinti kifejtessel: + 2 * det( ans = 2 -1 -1 2 ) - (-1) * det( ans = -1 -1 0 2 ) + 0 * det( ans = -1 2 0 -1 ) = ans = 4.0000 ============================= 3. Feladat - Ax = b megoldasa Gauss eliminacioval Eloszor matrix formaba irjuk az egyenletet: A = 1 3 4 2 7 3 2 8 6 b = 3 -7 -4 A\b vagy linsolve(A,b) ennek megadja a megoldasat ans = 4 -3 2 ans = 4 -3 2 Nekunk kezzel, Gauss eliminacioval kell kiszamolni a megoldast, ennek menete a kovetkezo: A kibovitett matrix: Ab = 1 3 4 3 2 7 3 -7 2 8 6 -4 2. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk Ab = 1 3 4 3 0 1 -5 -13 2 8 6 -4 3. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk Ab = 1 3 4 3 0 1 -5 -13 0 2 -2 -10 3. sorbol a masodik 2-szereset kivonjuk Ab = 1 3 4 3 0 1 -5 -13 0 0 8 16 Jon a visszahelyettesites, alulrol felfele haladva: 8 * x3 = 16 => x3 = 16 / 8 = 2 x3 = 2 1 * x2 - 5 * x3 = -13 => x2 = -13 + 5 * x3 = -3 x2 = -3 1 * x1 + 3 * x2 + 4 * x3 = 3 => x1 = 3 - 3 * x2 - 4 * x3 = 4 x1 = 4 Megegyszer, A\b-vel kapjuk egybol az ezzel megegyezo eredmenyt: ans = 4 -3 2 Ellenorzes: A * x = ans = 3 -7 -4 ============================= 4. Feladat - A^-1 szamitasa Jordan eliminacioval Tulajdonkeppen ugyanazon eliminacios lepeseket kell csinalni, csak nem b-vel, hanem a 3x3-as egysegmatrix-szal bovitunk jobbrol: A = 1 3 4 2 7 3 2 8 6 A kibovitett matrix: B = 1 3 4 1 0 0 2 7 3 0 1 0 2 8 6 0 0 1 2. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk B = 1 3 4 1 0 0 0 1 -5 -2 1 0 2 8 6 0 0 1 3. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk B = 1 3 4 1 0 0 0 1 -5 -2 1 0 0 2 -2 -2 0 1 3. sorbol a masodik 2-szereset kivonjuk B = 1 3 4 1 0 0 0 1 -5 -2 1 0 0 0 8 2 -2 1 A Jordan eliminacional a cel, hogy a baloldalon jelenjen meg az adott egysegmatrix, igy nem eleg ez a felso triangularis alak. Igy szuksegunk van ra, hogy az atloban 1-esek szerepeljenek: 3. sor szorzasa 1/8-al B = 1.00000 3.00000 4.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -5.00000 -2.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.25000 -0.25000 0.12500 Tovabba az atlo feletti elemeket is ki kell nullazni: 1. sorbol a masodik 3-szorosat kivonjuk B = 1.00000 0.00000 19.00000 7.00000 -3.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -5.00000 -2.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.25000 -0.25000 0.12500 2. sorhoz a harmadik 5-szoroset hozzaadjuk B = 1.00000 0.00000 19.00000 7.00000 -3.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 -0.75000 -0.25000 0.62500 0.00000 0.00000 1.00000 0.25000 -0.25000 0.12500 1. sorbol a harmadik 19-szereset kivonjuk B = 1.00000 0.00000 0.00000 2.25000 1.75000 -2.37500 0.00000 1.00000 0.00000 -0.75000 -0.25000 0.62500 0.00000 0.00000 1.00000 0.25000 -0.25000 0.12500 Megjelent az egysegmatrix a baloldalon, igy leolvashato az eredeti matrix inverze: AInverze = 2.25000 1.75000 -2.37500 -0.75000 -0.25000 0.62500 0.25000 -0.25000 0.12500 Ellenorzes: A * AInverze ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 AInverze * A ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Az Octave-ban A^-1 vagy inverse(A) kiszamolja a matrix inverzet ans = 2.25000 1.75000 -2.37500 -0.75000 -0.25000 0.62500 0.25000 -0.25000 0.12500 ans = 2.25000 1.75000 -2.37500 -0.75000 -0.25000 0.62500 0.25000 -0.25000 0.12500 ============================= +. Feladat - Gauss eliminacio 1) Kibovitett matrix: Ab = 1 -2 -6 12 2 4 12 -17 1 -4 -12 22 2. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk Ab = 1 -2 -6 12 0 8 24 -41 1 -4 -12 22 3. sorbol az elso 1-szereset kivonjuk Ab = 1 -2 -6 12 0 8 24 -41 0 -2 -6 10 3. sorhoz a masodik 1/4-szereset hozzaadjuk Ab = 1.00000 -2.00000 -6.00000 12.00000 0.00000 8.00000 24.00000 -41.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.25000 Az utolso sor a 0 * x1 + 0 * x2 + 0 * x3 = -0.25 egyenletet szimbolizalja ami nyilvanvaloan ellentmondo, igy ennek az egyenletrendszernek nincs megoldasa. 2) Kibovitett matrix: Ab = 1 -2 -6 12 2 4 12 -17 3 2 6 -5 2. sorbol az elso 2-szereset kivonjuk Ab = 1 -2 -6 12 0 8 24 -41 3 2 6 -5 3. sorbol az elso 3-szorosat kivonjuk Ab = 1 -2 -6 12 0 8 24 -41 0 8 24 -41 3. sorbol a masodik 1-szereset kivonjuk Ab = 1 -2 -6 12 0 8 24 -41 0 0 0 0 Az utolso sor a 0 * x1 + 0 * x2 + 0 * x3 = 0 egyenletet szimbolizalja ami azt jelzi, hogy , ennek az egyenletrendszernek vegtelen sok megoldasa van Pl tetszolegesen valasztunk x3 ertekkel teljesul a 3. egyenlet es ezutan visszahelyettesitessel kapunk x2, x1-et. >> 