Elõadásvázlat

Szept. 11. (2 óra)

Fontos tudnivalók  a kurzusról.
Az algebra rövid története.
A kurzus tematikája.
------------------------------------

A legfontosabb számhalmazok és a rajtuk értelmezett mûveletek tulajdonságai

• Természetes számok: A mûveletek (+ és . ) tulajdonságai, a rendezés és tulajdonságai. Oszthatóság a pozitív egészek körében, prímszámok, a számelmélet alaptétele, legnagyobb közös osztó. Maradékos osztás.

• Egész számok: Az egész számok bevezetése természetes számok különbségeiként. A mûveletek (+ és . ) definíciója és tulajdonságai. Egész szám ellentettje, kivonás. A rendezés definíciója és tulajdonságai.
• Racionális számok: Az racionális számok bevezetése egész számok hányadosaiként. A mûveletek (+ és . ) definíciója és tulajdonságai. Racionális szám reciproka, osztás nem-zérus számmal. A rendezés definíciója és tulajdonságai. Egész számok tízes számrendszerbeli alakja és a maradékos osztás. A racionális számok tizedes tört alakja.
• Valós számok: A valós számok bevezetése végtelen tizedes törtekkel. A mûveletek (+ és . ) és tulajdonságaik. A rendezés és tulajdonságai. A felsorolt mûveleti tulajdonságok néhány fontos következménye: nevezetes azonosságok, az egész kitevõs hatványozás és tulajdonságai. Gyökvonás valós számokból, a gyökvonás azonosságai. A hatványozás kiterjesztése (pozitív alap esetén) racionális, majd valós kitevõre. Az abszolút érték definíciója és tulajdonságai.

Teljes indukció

• Példák a teljes indukciós bizonyítás különbözõ formáira. A természetes számok halmazának három ekvivalens tulajdonsága, amely a teljes indukciós bizonyítások különbözõ formáit megalapozza. A három tulajdonság ekvivalenciájának bizonyítása.
• Rekurzív definíció. Példák.

Komplex számok

• A komplex számok bevezetésének szükségessége. Milyen tulajdonságokat várunk el a komplex számok halmazától és a rajta értelmezett mûveletektõl? Ha lenne ilyen számhalmaz, hogyan számolnánk benne?
• A komplex számok halmazának és a rajta értelmezett mûveleteknek a (geometriai) konstrukciója. (Közben: áttekintés a forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezésérõl.) A definiált mûveletek eleget tesznek a kívánalmaknak.
• Komplex számok kanonikus alakja, trigonometrikus alakja. Az egyenlõség feltétele kanonikus, illetve trigonometrikus alakban. Összeadaás, ellentettképzés, kivonás, szorzás, reciprokképzés, osztás kanonikus, illetve trigonometrikus alakban.
• Komplex szám konjugáltja, a konjugálás tulajdonságai. Komplex szám abszolút értéke, az abszolút érték tulajdonságai.
• Komplex szám egész kitevõs hatványa. Moivre képlete.

• Komplex szám n-edik gyökei. Egységgyökök. Kapcsolat az n-edik egységgyökök és egy komplex szám n-edik gyökei között. Primitív n-edik egységgyök fogalma. A primitív egységgyökök ekvivalens jellemzései. Az n-edik egységgyökök összege.
• Alkalmazás: cos nx, sin nx  kifejezése sin x és cos x segítségével.

• Halmazok megadása, egyenlõsége. Üres halmaz. Részhalmaz fogalma, tulajdonságai. Hatványhalmaz.
• Metszés, egyesítés, diszjunkt halmazok.A metszés és az egyesítés mûveleti tulajdonságai.

• Halmazok különbsége, szimmetrikus különbsége. A két mûvelet kapcsolata.
• Univerzum. Halmaz komplementere. Halmazok különbségének és szimmetrkus különbségének kifejezése metszés, egyesítés és komplementerképzés segítségével. A komplementerképzés mûveleti tulajdonságai.
• A tartalmazás és a halmazmûveletek kapcsolata.
• Példák a tanult összefüggések alkalmazására.
• Rendezett elempár. Két halmaz Descartes-szorzatának definíciója.

• Megfeleltetés definíciója. Indulási és érkezési halmaz; értelmezési tartomány, értékkészlet.Identikus megfeleltetés.
• Megfeleltetés inverze. Megfeleltetések szorzata. Példák. A szorzás és az inverzképzés mûveleti tulajdonságai.

• Leképezés definíciója. Elem képe, õse. Példák leképezésre; identikus leképezés, sorozatok mint leképezések.
• Leképezések (megfeletetés)szorzata leképezés; a szorzatleképezés a tényezõk egymás utáni végrehajtása. A leképezésszorzás mûveleti tulajdonságai. Példa arra, hogy a leképezésszorzás nem kommutatív.
• Ráképezés (= szürjektív leképezés), kölcsönösen egyértelmû leképezés (= injektív leképezés) definíciója. A definiáló tulajdonságok néhány ekvivalens átfogalmazása. Kölcsönösen egyértelmû ráképezés (= bijektív leképezés) definíciója. Példák.

• Injektív, illetve szürjektív leképezések szorzata; injektív, illetve szürjektív szorzatleképezés tényezõi. Leképezés megfeleltetés-inverze; bijektív leképezés inverze bijektív leképezés; az inverz tulajdonságai.

• A Descartes-négyzet, illetve a kéttényezõs Descartes-szorzat általánosítása véges sok, majd tetszõleges számú tényezõre.

• Halmaz végességének definíciója. A véges halmazok jellemzési tétele.Véges halmaz minden injektív transzformációja és minden szürjektív transzformációja is bijektív.
• Véges halmaz elemszámának definíciója. Az elemszám egyértelmûen meghatározott.

• A permutáció fogalma; szorzás, inverzképzés és tulajdonságai egy adott halmaz összes permutációinak halmazán.
• Közös mozgatott elem nélküli permutációk fölcserélhetõsége.
• A ciklikus permutáció (=ciklus) definíciója. Idegen ciklusok. Páronként idegen ciklusokból álló szorzat hatása az alaphalmaz elemein.
• Tétel a véges halmaz permutációinak idegen ciklusok szorzatára történõ felbontásáról. A tétel egyértelmûségi állításának bizonyítása.

• Tétel a véges halmaz permutációinak idegen ciklusok szorzatára történõ felbontásáról. A felbontás létezésének a bizonyítása.
• Véges halmaz permutációinak felbontása transzpozíciók szorzatára. Tétel a transzpozíciók szorzatára történõ felbontáskor a tényezõk számának paritásáról. Páros, illetve páratlan permutáció fogalma. A páros, illetve a páratlan permutációk száma.

• Reláció definíciója. Példák. A legfontosabb relációtulajdonságok: reflexivitás, szimmetria, antiszimmetria, tranzitivitás.
• Részbenrendezés, részbenrendezett halmaz fogalma, Hasse-diagram. Összehasonlítható elemek, dichotomia.
• Maximális elem, legnagyobb elem, minimális elem, legkisebb elem fogalma. A legnagyobb elem maximális, a legkisebb elem minimális. Egy részbenrendezett halmaznak legfeljebb egy legnagyobb eleme, s legfeljebb egy legkisebb eleme van. Nemüres véges részbenrendezett halmaznak létezik maximális eleme, s létezik minimális eleme.

Nov. 14. (3 óra)

• Ekvivalenciareláció, osztályozás; az ekvivalenciarelációk és az osztályozások kapcsolatát leíró tétel.
• Faktorhalmaz, természetes leképezés. Leképezés magja.

• n-változós mûvelet fogalma (n = 0, 1, 2, 3, ...), mûvelettáblázat. Algebrai struktura fogalma.
• Asszociativitás, félcsoport fogalma. Az általános asszociativitás tétele.
• Fölcserélhetõ elemek, kommutativitás. Páronként fölcserélhetõ elemek szorzata félcsoportban. Az általános kommutativitás tétele.
• Egységelem, zéruselem. Egységelemes grupoidban legfeljebb egy egységelem [zéruselem] van. Monoid fogalma.
• Elem inverze. Monoidban minden elemnek legfeljebb egy inverze van.

• Az inverz tulajdonságai. Csoport, Abel-csoport fogalma. Egész kitevõs hatványozás csoportban.
• A multiplikatív és az additív írásmód.
• Disztributivitás. A gyûrû fogalma. Gyûrû additív csoportja, multiplikatív félcsoportja. Egységelemes gyûrû, kommutatív gyûrû fogalma. Az egész számok gyûrûje modulo 2, 3, 4,... .
• A gyûrûaxiómák néhány fontos következménye. Az általános disztributivitás tétele (bizonyítás nélkül). Kommutatív gyûrûkben érvényes a binomiális tétel.
• Test fogalma. Példák véges testekre: az egész számok gyûrûje modulo 2 és 3 -- általában modulo p (p prím) -- test, de pl. modulo 4 nem az.

• Legyen R kommutatív egységelemes gyûrû. Az R fölötti egyhatározatlanú polinom definíciója.Mûveletek polinomokkal. Az R  fölötti polinomok R[x] halmaza a bevezetett mûveletekre maga is kommutatív, egységelemes gyûrû.
• R elemei és a konstans polinomok R[x]-ben. A polinomok elõállítása a konstans polinomokból és az x polinomból a polinomgyûrû mûveleteinek felhasználásával.
• Nemzérus polinom fokszáma, fõegyütthatója. Fõpolinom fogalma. Polinomok összegének, illetve szorzatának fokszáma.
• Polinom helyettesítési értéke, polinomfüggvény fogalma. Példa kételemû test fölött két különbözõ polinomra, amelyekhez ugyanaz a polinomfüggvény tartozik.

Dec. 5. (3 óra)

• Összegpolinom, szorzatpolinom helyettesítési értéke.

• Nemzérus polinomok szorzatának fokszáma a tényezõk fokszámának összege. A maradékos osztás elvégezhetõségérõl szóló tétel, a hányados és a maradék egyértelmûsége. Példa maradékos osztásra.
• Oszthatóság definíciója. f|g és g|f  egyszerre akkor és csak akkor áll fenn, ha f=cg az alaptest valamely nemnulla c elemére.
• Polinomok legnagyobb közös osztójának fogalma. A legnagyobb közös osztó nemnulla konstans szorzótényezõtõl eltekintve egyértelmûen meghatározott.Test fölötti polinomgyûrûben bármely f, g polinomoknak létezik legnagyobb közös osztója, s ez -- az f = g = 0 esettõl eltekintve -- euklideszi algoritmussal kiszámítható.

• Ha f K[x]-beli polinom (K test), c pedig K egy eleme, akkor az f : (x - c)  maradékos osztás maradéka f(c), tehát 
                      f = (x - c)q + f(c).
  q és f(c) kiszámítása Horner-elrendezéssel.
• Polinom gyökének (zérushelyének) fogalma. Bézout-tétel: f(c) = 0 akkor és csak akkor, ha x - c | f   (K[x]-ben).
• 1. Következmény: K páronként különbözõ c_1,...,c_{n+1} elemeire f(c_1) = ... = f(c_{n+1}) = 0  akkor és csak akkor teljesül, ha (x - c_1)...(x - c_{n+1}) | f   (K[x]-ben).
• 2. Következmény: Ha f  n-edfokú (nemzérus) polinom K[x]-ben, akkor f-nek legfeljebb n gyöke van K-ban.
• 3. Következmény: Ha az f, g  K[x]-beli, legfeljebb n-edfokú polinomok helyettesítési értéke K  n + 1  különbözõ elemére megegyezik egymással, akkor f = g.
• 4. Következmény: Végtelen K test esetén, ha a K[x]-beli f, g polinomokhoz tartozó polinomfüggvények megegyeznek, akkor f = g.
• Lagrange interpolációs tétele.

• A klasszikus algebra alaptétele (bizonyítás nélkül). A komplex együtthatós polinomok gyöktényezõs alakjának létezésérõl és egyértelmûségérõl szóló tétel. Viete képletei.
• A valós együtthatós polinomok felbontása valós gyöktényezõk és olyan másodfokú valós együtthatós polinomok szorzatása, amelyeknek nincsen valós gyöke; a felbontás egyértelmûsége.
• Irreducibilis polinom fogalma (K[x]-ben, K tetszõleges test). Irreducibilis polinomok a C[x], ill. az R[x] polinomgyûrûben. Az  elõzõ két felbontási tétel közös megfogalmazása irreducibilis polinomokkal. 

Számtest fölötti polinom gyökei

• Egész együtthatós polinomok racionális gyökei.
• Harmadfokú polinom gyökeinek kiszámítása. Cardano-képet, diszkrimináns. A diszkrimináns pontosan akkor 0, ha a gyökök nem páronként különbözõek. Valós együtthatós harmadfokú polinom gyökei, a casus irreducibilis.
• Negyedfokú polinom gyökeinek kiszámítása.
• Polinomok közös gyökei.
• Polinom többszörös gyökei. Test fölötti polinom deriváltja. A derivált és a többszörös gyökök kapcsolata. A többszörös gyökök kiküszöbölése.

Dec. 19. (3 óra)

Többhatározatlanú polinomok

• Kommutatív egységelemes gyûrû fölötti n-határozatlanú polinomgyûrû fogalma. Az n-határozatlanú polinom általános alakja, nemzérus polinom fokszáma. Homogén polinom fogalma.
• Lexikografikus rendezés az (N_0)^n halmazon. Polinom tagjainak lexikografikus rendezése. Tétel a szorzatpolinom lexikografikusan elsõ tagjáról.
• n-határozatlanú polinom helyettesítési értéke, polinomfüggvény fogalma. Polinomok helyettesítése polinomba.
• Szimmetrikus polinom fogalma. Elemi szimmetrikus polinomok, kapcsolatuk a Viete-képletekkel. Az elemi szimmetrikus polinomok polinomjai szimmetrikus polinomok.
• A szimmetrikus polinomok alaptétele. Egyhatározatlanú polinom gyökeinek helyettesítése szimmetrikus polinomba. Módszer a szimmetrikus polinomok elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként való elõállítására. Alkalmazás: az x^3 + px + q polinom diszkriminánsa egyenlõ a gyökei különbségei négyzetének szorzatával.

Algebrai számok

• Algebrai szám fogalma. Példák algebrai számokra, transzcendens(=nem algebrai) számokra. Az algebrai számok testet alkotnak.
• Algebrilag zárt test fogalma. Az algebrai számok teste algebrailag zárt (bizonyításból: csak az alapötlet).

Utolsó módosítás idõpontja: 2000. december 19.