Hogyan (ne) tanítsunk matekot

• 
• 

Részletek

Közzétéve: 2012. december 11. kedd, 12:55

Arnold gondolatai egybevágnak sajátjaimmal

(Az alábbiak Vladimir I. Arnold "Topological problems of the theory of wave propagation, Russian Math. Surveys 51:1(1996), 1-47"cikkének első szakaszából származnak.)

Egy védőbeszéd az Alkalmazott Matematikáért

(Elhangzott az Ipari és Alkalmazott Matematikai Kongresszus megnyitóján, Hamburgban, 1995. július 3.-én; jelen magyar fordítást én követtem el, javító javaslatokat szívesen fogadok...)

Az elméleti matematikusok és fizikusok között elfogadott (habár általában elnyomott) vélemény, hogy az "ipari és alkalmazott" matematika olyan gyenge gondolkodók maffiája, akik képtelenek bármilyen fontos tudományos eredményt produkálni, inkább csak egyszerűen kiaknázzák az elméleti matematikusok korábbi generációinak eredményeit és jobban érdekli őket a pénz, mint a tudomány, és ettől reménytelenül sérültek.

"Annyira gyengék" -- mondta egy elméleti matematikus egyszer -- "hogy közvetlen becsületes módon semmit sem remélnek elérni; egyszerűen csak azért elhatárolják el magukat a matematikusoktól, hogy elkerüljék a tisztességes versenyt".

Nem hiszem, hogy az alkalmazott matematika teljesen megérdemli ezen jellemzését. Galileo gazdaságot szolgáló eredményei nem váltottak ki kevesebb csodálatot, mint az elméleti filozófus Pascal teljesítményei.

Az elméleti és alkalmazott matematika közti különbség nem tudományos, hanem csak társadalmi. Egy elméleti matematikust azért fizetnek, hogy új matematikai tényeket tárjon fel. Egy alkalmazott matematikust azért fizetnek, hogy meglehetősen sajátos problémákat oldjon meg.

Példa. Columbus egy tisztán alkalmazott kutatást kezdett annak érdekében, hogy rövidebb utat találjon Kínába, és ezért kapott fizetést. Útjának vége azonban egy elméleti matematikai tényre emlékeztet. Ne feledjük, hogy a spanyol gazdaságnak sokkal kisebb azonnali közvetlen hasznot hoztak Columbus felfedezései, mint a part menti hajózással a rendes kapitányok.

Mayakovsky a "Hogyan készítsünk költeményt" munkájában nagyon jól leírta az elméleti és alkalmazott matematika közti különbséget. "Az az ember, aki rájött, hogy kétszer kettő az négy, az nagy matematikus volt, még ha csak cigaretta csikkeket számolva jött is rá. Azok, akik ezt a formulát használva most sokkal nagyobb dolgokat, mint például egy mozdonyt, számolnak ki, azok egyáltalán nem matematikusok."

A véges testek feletti algebrai görbék elmélete mára alkalmazott matematikává vált, amit a CIA, a KGB és más hasonló szervezetek finanszíroznak. Fermat problémája is alkalmazott matematika lenne, ha a megoldása pénzügyi értéket hordozna. A huszadik század sok matematikusa figyelmeztetett a matematika felosztásának veszélyeire. Hermann Weyl írta: "A mi korunkban a topológia angyala és az absztrakt algebra ördöge harcol matematika minden tartományáért." (H. Weyl, "Invariants", Duke Math. J., 5 (1939), 500.).

A század első felében az ördög állt nyerésre. Lagrange után, aki száműzte képeket a matematikából, az algebristák és az axiomatisták érkeztek - először Hilbert, aztán Bourbaki.

Példa. Definiáljuk a természetes számok szorzatát az "oszloponkénti szorzás" módszerével. Ebben az esetben a szorzás kommutativitás egy csak nehezen bizonyítható tétel. Mindazonáltal terrorral rá lehet kényszeríteni az iskolásokat (és diákokat), hogy megtanulják e tétel formális bizonyítását, ezzel páratlan magasságba emelve nem csak a tanárok de a tudományok mindenhatóságát.

Matematikusok generációit tanították ezzel a módszerrel, bármilyen más matematikától függetlenül. Ennek eredményeként nem értenek semmi más tudományt és lelkesen foglalják el magukat alig érdekes tanáraik általánosított eredményeinek unalmas részleteivel.

Hilbert hirdette meg azt a demokratikus elvet, mely szerint minden egyes axióma-rendszer ugyanolyan joggal tanulmányozható, és az eredmények matematikai értékét mindössze azok nehézsége határozza meg, mint az alpesi sziklamászásban. Ennek eredményeképpen, vált el a ``tiszta" matematika a többi tudománytól, jött létre a matematikai nevelésnek a tanítottakkal szemben bűnös rendszere, és vált a közgondolkodásban a matematika a tudomány és a technológia testén élősködő veszélyes szektává, amely egy haldokló vallás papjaiból, mint a druidákból, áll.

Landau azt mondta: "Miért van az, hogy a matematikusok összeadják a prímszámokat? A prímszámokat a szorzás érdekében hozták létre" (a matematika egyik legnagyobb vívmányaként tartják számon az elegendően nagy egész számoknak három prím összegként való előállíthatóságát).

Az iskolai megaláztatáson átesettek bosszújaként, a legtöbb ország bürokráciája, mint a disznók egy tölgyfa alatt, azzal foglalja el magát a háborús készülődés csökkentése után, hogy erőfeszítéseiket fokozva megsemmisítse a matematikát, különösen a ``tiszta" matematika.

Az Egyesült Államok kormánya a közelmúltban fedezte fel, hogy a már meglévő és képzésben részesülő matematikusok 85%-a, különösen az ``elméletiek" nem alapvetően fontosak az ország számára. A csillagháború nélkül se a nagy ütköztetőkre, se a matematikusokra nincs szükség. Különböző projekteket fontolgatnak, hogy hogyan csökkentsék a matematikusok számát hetedére. Amerikai szakemberek azzal számolnak, hogy ez tíz évbe fog kerülni.

Sajnos azt el kell ismerni, hogy teljes mértékben a ``tiszta" matematikusok saját kezűleg felelősek a fentebb leírt általános vélemény létrejöttéért. Mindenekelőtt az axiomatikus-deduktív módszer felelős ezért, mert száműzte az összes példát (és ráadásul a definíciók indítékainak meghatározását) a matematika tanításának minden szintjén.

R. Feynman az első háború utáni brazíliai évek fizikaoktatásáról írva világosan jellemezte a tanításnak ezt az ("önterjesztő pszeudó-oktatás állapotába vezető") módszerét a "Bizonyára viccel, Mr. Feynman!" című könyvében (Surely you're joking, Mr. Feynman!, Bantam Books, Toronto-New York 1986, pp. 191-198.). Egész gyakran észleltem zavarodottan, hogy mennyire közeli ez a "brazíliai" fizika-tanítás módszer a mi matematika-tanításunkhoz.

R. Feynman a következő példát adta. Az előadó kijelenti, hogy egy anyagi pont a tehetetlenségi nyomaték egy tengelyre nézve a tömeg és a pont tengelytől vett távolsága négyzetének szorzata. A tanulók leírják ezt a meghatározást, úgy tűnik, hogy minden rendben van. Feynman azonban kifejti, hogy ez a tanítás teljesen elfogadhatatlan.

El kell magyarázni, hogy egy súlyt egy ajtóhoz a zsanérja közelében rögzítve az alig befolyásolja az ajtó kinyitását miközben egy fogantyúhoz rögzített súly erősen hat rá. Ilyen példa nélkül a definíció értelmetlen - csak abban segít, hogy megválaszoljuk a vizsgakérdés: ``mondja ki a tehetetlenségi nyomaték definícióját". Azok, akik szeretnének, Feyman könyvében találhatnak példákat az így tanított diákok tehetetlenségére.

Íme néhány példa a párizsi oktatási tapasztalatomból. Abban az időben Az írásbeli vizsga idején a negyedik kurzus egy diákja azt mondta nekem: ``Elhagytam a számológépem. Megmondaná kérem, hogy a 4/7 nagyobb vagy kisebb, mint egy?" Ez a négyheted volt az a szám, amelyen egy éppen tanulmányozott dinamikai rendszer viselkedését szabályozó integrál konvergenciája függött. Ez egy jó tanuló, de itt volt egy egyszerű tört, melyet nyilván a ``brazíliai" módszer francia változatában tanult!

A párizsi École Normale diákjai azt kérdezték tőlem: ``Miért nevezi lokálisnak a formális hatványsorok gyűrűjét? Tényleg teljesítik a lokális gyűrűk axiómáit?" A nem szakemberek számára el kell magyaráznom, hogy ez a kérdés analóg azzal a kérdéssel, hogy ``miért nevezünk egy kört kúpszeletnek?" Ezek voltak a legjobb matematikai hallgatók Franciaországban. Nyilvánvaló, hogy valami bűnös algebrista anélkül tanította meg nekik a gyűrű (és a lokális gyűrű) axiómáit, hogy azokra (és, konkrétan, a ``lokális" fogalom eredetére) bármilyen példát mutatott volna.

A kezdeti feltételekben vétett hiba hatására egy Hamilton-rendszer fázis görbéje a síkon nem egy nyereg szeparátrixának tűnt, hanem egy zárt görbének. Ez vezetett a megoldás végtelenben vett határértékének következő meghatározásához (írásbeli vizsga közben bármely forrás használható): "a 45-ös tétel szerint létezik $T>0$ úgy, hogy a megoldás $\phi(T)$ értéke a $T$ pillanatban egyenlő a kezdeti értékkel. " Ezt követően a meglehetős szigorral került bizonyításra indukcióval (egy unicitási tételt felhasználva), hogy $\phi(nT)=\phi(0)$ bármely egész $n$ értékre.

Mindebből adódik a kifogástalan eredmény: "a határérték megegyezik a kezdeti értékkel"! A deduktív-axiomatikus matematika szempontjából mindezen megfontolásokban nincs egyetlen hiba sem: a hiba a probléma megfogalmazásában van.

Egyértelmű azonban, hogy az író nem ért semmit, csak tudja hogyan kell bizonyítani. Az olyan oktatási rendszer abszurditása, sőt bűnössége, ami nyilvánvalóan intelligens embereket ilyen állapotba juttat, számomra nyilvánvaló. Az "Alkalmazott" munkákhoz az ilyen "tudás" haszontalan, sőt veszélyes (a következmények akár a csernobili katasztrófa nagyságában jelentkezhetnek).

Egy matematikai előadás célja nem lehet néhány másoktól származó érthetetlen állítás (ugyanúgy érthetetlen) logikai levezetése: meg kell magyarázni a közönségnek, amiről a diszkusszió szól, és meg is kell tanítani őket nem csupán a bemutatott eredmények, hanem -és ez a fontos- a módszerek és a ötleteket használatára.