Kurusa Árpád

Egyebek-blog

A valóság és a geometria viszonya

Egy idézet Eddington "Tér, idő és gravitáció" című könyvéből.

(A némileg rövidített magyar fordítás Simonyi Károly "A fizika kultúrtörténete" című könyvéből van.)

Hárman beszélgetnek a geometria és a valóság viszonyáról:
  egy matematikus (Math)
  egy kísérleti fizikus (Phys) és
  az általános relativitáselmélet egy lelkes propagálója (Rel).

Rel. Euklidész egy általános tétele így hangzik: ``Bármely háromszögben két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal.'' Meg tudná valamelyikük mondani, hogy ezen tétel helyessége manapság teljesen megalapozottnak tekinthető?

Math. Ami engem illet, teljes mértékben képtelen vagyok dönteni afelöl, hogy a tétel igaz-e vagy sem. Bizonyos más tételekből vagy axiómákból, amelyeket még elemibbnek tartunk, megbízható bizonyítási módszerek segítségével le tudom vezetni őket. Amennyiben ezek az axiómák igazak, igaz a tétel is; ha az axiómák nem igazak, általában nem igaz a tétel sem. De, hogy maguk az axiómák igazak vagy sem, azt nem tudom megmondani; ez nem is tartozik az illetékességem alá.

Phys. De nem követeljük-e meg azt, hogy ezen axiómák igazsága magától értetődő legyen?!

Math. Számomra semmiképpen sem magától értetődőek, és ezt a követelményt --- véleményem szerint --- ma már senki sem tartja fenn.

Phys. De, hát ezekell az axiómákkal mégiscsak sikerült Önnek egy logikus és önmagában ellentmondásmentes geometriai rendszert felépíteni; vajon ez nem tekinthető az axiómák közvetlen bizonyítékaként?

Math. Nem. Az euklidészi geometria nem az egyetlen ellentmondásmentes geometria. Kiindulhatok más axiómákból is és akkor például a Bolyai--Lobacsevszkij-geometriához jutok, amelyben Euklidész sok tétele már nem érvényes. Az én álláspontom nem teszi lehetővé, hogy, hogy ezek közül a különböző geometriák közül válasszak.

Rel. Hogy lehet mégis az, hogy az euklidészi geometria jelentősége messze túlhaladja a többiét?

Math. Alig tudnám elképzelni,hogy ez lenne a legfontosabb geometria. De, bizonyos okoknál fogva, amelyek számomra --- ezt be kell vallanom --- nem teljesen világosak, az én fizikus barátom sokkal jobban érdeklődik az euklidészi geometria iránt, mint bármely másik iránt, és számunkra állandóan vele kapcsolatban állít fel problémákat. Éppen emiatt kénytelenek voltunk az euklidészi rendszerrel aránytalanul többet foglalkozni. De, voltak nagy geométerek, mint Riemann, akik azon fáradoztak, hogy a helyes viszonyokat újból helyreállítsák.

Rel. (a fizikushoz). Tulajdonképpen miért érdeklődik Ön annyira az euklidészi geometria iránt? Úgy gondolja, hogy ez az igazi geometria?

Phys. Igen. Kísérleteink bizonyítják helyességét.

Rel. Hogyan bizonyítja például, hogy egy háromszögben két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal?

Phys. Természetesen csak úgy tudnám ezt bizonyítani, hogy méréseket végeznék igen nagyszámú konkrét esetben, és ...

Rel. Én viszont csak egyetlenegy esetben szeretném az Ön fáradságát igénybe venni. Itt ez az $ABC$ háromszög! Hogyan bizonyítja be, hogy $AB + BC$ nagyobb mint $AC$?

Phys. Veszek egy mérőrudat, és megmérem a három oldalt.

Rel. Úgy tűnik nem értettük meg egészen egymást. Én ugyanis egy geometriai tételről beszéltem --- a tér tulajdonságáról ---, nem pedig az anyagéról. Az Ön kísérlete azonban csak egy anyagi mérőrúd viselkedéséről állít valamit, miközben azt különböző helyzetekbe hozza.

Phys. Elvégezhetném a méréseket optikai úton is.

Rel. Na ez egyre rosszabb lesz... Most meg a fény tulajdonságairól kezd beszélni.

Phys. Így egyáltalán nem tudok semmit sem mondani, ha nem engedi meg, hogy valamilyen mérést végezzek. Én kizárólag mérések útján kutathatom a természetet. Nem vagyok metafizikus.

Rel. Rendben van, akkor állapodjunk meg abban, hogy Ön hosszúság és távolság alatt mindig egy olyan mennyiséget ért, amelyet anyagi vagy optikai eszközök segítségével lehet meghatározni. Ön kísérletileg így azokat a törvényszerűségeket határozta meg, amelyeknek a mért hosszúságok engedelmeskednek, és így találta azt a geometriát, amely Önnek megfelelt. ...

Rel. ... De, haladjunk csak tovább ezen "természetes" geometria törvényeinek ellenőrzésével. Íme, itt egy mérőszalag, és megmérem vele ezt a háromszöget: $AB = 90cm$, $BC =0,6cm$, $CA = 91cm$. Na lám csak, a tétele nem stimmel!

Phys. Ön nagyon jól tudja, mitől van ez. Hiszen az $AB$ oldal mérésénél a mérőszalagot alaposan megnyújtotta.

Rel. Miért ne?

Phys. Egy hosszúságot magától értetődően egy merev mérőrúddal kell mérni.

Rel. Látja, ez egy nagyon fontos többlet a hossz Ön által adott definíciójához. De mi is az a merev mérőrúd?

Phys. Egy olyan mérőrúd, amelynek hossza állandó marad.

Rel. Az előbb épp abban állapodtunk meg, hogy a távolság egy olyan mennyiség, amelyet egy merev mérőrúddal való mérés segítségével határozhatunk meg; most azonban Önnek egy másik merev mérőrúdra van szüksége, hogy ellenőrizze, hogy az első rúd nem változtatta-e meg a hosszát? Aztán egy harmadikra, hogy a másodikat ellenőrizze, és így tovább ad infinitum. ...

Math. Nagyon elterjedt az a vélemény, hogy a tér tulajdonságai nem fizikai méréseken és nem is metafizikai megfontolásokon, hanem megállapodásokon alapszik. Poincaré Tudomány és feltevés című könyvének következő mondatai világítják meg a tér eme felfogását: " Ha a Lobacsevszkij-geometria igaz, akkor egy nagyon távoli csillag is véges paralaxissal rendelkezne. Ha Riemann-geometria igaz, akkor ugyanez negatív lenne. Ezek olyan kijelentések, amelyek hozzáférhetőnek látszanak a kísérleti ellenőrzés számára, és azt reményt keltik, hogy asztronómiai megfigyelések segítségével dönteni lehet a két geometria között. De az asztronómia egyenese egyszerűen a fénysugarak pályája. Ha tehát negatív parallaxist mutatnának a kísérletek, vagy ha be tudnák bizonyítani, hogy minden parallaxis egy meghatározott érték felett van, akkor két végkövetkeztetés között lehetne választani: vagy feladjuk az euklidészi geometriát, vagy úgy változtatjuk meg az optika törvényeit, hogy aszerint a fény nem pontosan egyenes vonalban terjed. Szükségtelen hozzátennünk, hogy mindenki ez utóbbi megoldást tekintené előnyösebbnek. Az euklidészi geometriának nincs mit félnie az új kísérletektől. "

Rel. Poincaré eme ragyogó meggondolása nagyon alkalmas arra, hogy megértsük azt a problémát, amellyel most szembe kell nézni. Hangsúlyozza ugyanis a geometria és az optika törvényszerűségeinek egymástól való kölcsönös függését, amelyet sosem szabad szemünk elől téveszteni: egy tételt elvehetünk az egyikből és beépíthetjük a másikba. ... Egyébként most valóban elérkeztünk ahhoz a válaszúthoz, amelyre Poincaré utal, bár a döntést nem éppen az őáltala említett kísérlet kényszeríti ránk.

 

 

Referenciák


© 2014 Kurusa Árpád