A+ | A- | Ø
 
  • English
 
 
2014. október 30. csütörtök 18:33
A Bolyai Intézet által aktuálisan oktatott kurzusok

Vissza

A tárgy kódja és neveMBN211E Klasszikus algebra és számelmélet
Meghirdető tanszék(csoport)Algebra és Számelmélet Tanszék 
Felelős oktatóDr. Zádori László 
Kredit
Heti óraszám
Típusaelőadás 
Számonkéréskollokvium 


Tematika

Komplex számok: kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás, egységgyökök. A csoport, a gyűrű és a test fogalma, példák. Integritástartományok, egységelemes gyűrű fölötti egyhatározatlanú polinomgyűrű, a Gauss-egészek és az Euler-egészek gyűrűje. Az oszthatóság tulajdonságai integritástartományokban. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Maradékos osztás és euklideszi algoritmus Z-ben és test fölötti polinomgyűrűben. Euklideszi gyűrűk, főideálgyűrűk, egyértelmű irreducibilis felbontás. Prímszámok, a számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van.
Polinomok zéróhelyei, Bézout tétele. A klasszikus algebra alaptétele és következményei, irreducibilis faktorizáció a valós és a komplex számtest fölött. A harmad- és a negyedfokú polinomok zéróhelyeinek meghatározása. Irreducibilis polinomok a racionális számtest fölött, racionális zéróhelyek, a Schönemann-Eisenstein-tétel. Polinomok közös és többszörös zéróhelyei. Test fölötti többhatározatlanú polinomgyűrű, a szimmetrikus polinomok alaptétele.
Lineáris diofantoszi egyenletek. A modulo n kongruencia és tulajdonságai, maradékosztályok, teljes és redukált maradékrendszerek. A modulo f(x) kongruencia polinomgyűrűben. Maradékosztály-gyűrű, illetve -test polinomgyűrű esetén. Véges testek konstrukciója. Lineáris kongruenciák, a kínai maradéktétel. Euler, Fermat és Wilson kongruenciatétele. Számelméleti függvények, multiplikatív függvények, nevezetes példák, összegzési és megfordítási függvény. Primitív gyökök és indexek. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. Természetes számok fölbontása két négyzetszám összegére, pitagoraszi számhármasok. A prímszámok eloszlása, a prímszámok reciprokaiból állósor divergenciája. Nevezetes tételek és megoldatlan problémák (ismertetés).


Ajánlott irodalom

  1. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
  2. Klukovits Lajos: Klasszikus és lineáris algebra, Polygon Jegyzettár, 1999.
  3. Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.
  4. I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó, 1978.
  5. Sárközi András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény, ELTE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1977