A+ | A- | Ø
 
  • English
 
 
2014. augusztus 20. szerda 08:51
A Bolyai Intézet által aktuálisan oktatott kurzusok

Vissza

A tárgy kódja és neveMBN231E Euklideszi geometria
Meghirdető tanszék(csoport)Geometria Tanszék 
Felelős oktatóDr. Kurusa Árpád 
Kredit
Heti óraszám
Típusaelőadás 
Számonkéréskollokvium 


Tematika

Euklideszi sík és tér gyors axiomatikája (illeszkedés, rendezés, metrika, tükrözés). Merőlegesség. Kötött vektor, szabad vektor, helyvektorok, lineáris függőség, függetlenség, generálás, bázis, dimenzió. (Affin) sík és tér koordinátázása, koordináta transzformáció, bázisváltás, determináns és sík irányítása. Affin transzformáció, mint lineáris leképezés és eltolás egyértelmű szorzata. Affin független pontok, affinitások alaptétele.
Norma, tulajdonságai, ortogonalitás, paralellogramma szabály, Euklideszi norma. Euklideszi szorzás, Euklideszi-sík egységköre (elipszis). <u,v> < |u||v|, szögfüggvények, Euklideszi szorzás ONB-koordinátázásban, addiciós tételek. Izometrikus leképezések linearitása, ortogonális leképezés inverzének mátrixa. Izometriák (d(f(x),f(y))/d(x,y)=1), Izometria-csoport.
Síkizometria-tétel (osztályozás fixpontok szerint és előállításuk tükrözésekből). Tükrözések tulajdonságai (konjugálás, szorzat-redukciók, irányításváltás). Forgatások és eltolások tulajdonságai (szög-addíciós tétel; szabadsági fok, konjugálás, mozgáscsoport). Síkizometriák felsorolása.
Térizometria-tétel (osztályozás fixpontok szerint és előállításuk tükrözésekből). Tükrözések tulajdonságai (konjugálás, szorzat-redukciók, irányításváltás). Forgatások, eltolások és csavarmozgás tulajdonságai (szabadsági fok, konjugálás) mozgáscsoport. Térmozgás-csoport síkhatása és a síkizometria-csoport. Térizometriák felsorolása. Egybevágóság kiterjeszthető izometriává; háromszögek és tetraéderek egybevágósága. Szimmetria csoport. Szabályos alakzatok (poligonok és poliéderek).
Homotéciák (d(f(x),f(y))/d(x,y)=fix): fixpont létezése, a dilatáció párhuzamosság-tartó homotécia. Minden homotécia egy dilatáció és egy izometria szorzata. Hasonlóság kiterjeszthető homotéciává. Háromszögek és tetraéderek hasonlósága. Párhuzamos szelők tétele.
Affinitások (osztóviszonytartók). Két sík közti affinitás mindig egy párhuzamos vetítés (tengelyes affinitás) és egy homotécia szorzata. Affinitások alaptétele (egyenestartó bijektív leképezés affinitás).
Projektivitások (kettosviszonytartók). bijektív proj. affinitás (Perspektivitás projekció, de nem bijektív).
Terület- és térfogat-formák, Paralelepipedon térfogata, vegyes és vektoriális szorzás vs. térfogatformák.
Csoport-hatás, pálya. Diszkrét mozgáscsoport, szabályos pontrendszerek. Szabályos pontrendszerek szimmetria csoportja, kristályok, Barlow tétele. Diszkrét síkmozgáscsoportok osztályozása. Inverzióval bovített diszkrét mozgáscsoport. Konvexitás, poliéderek, szabályos testek.


Ajánlott irodalom

  1. A.N. Kolmogorov, Sz.V. Fomin: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei,
  2. Szabó Zoltán: Bevezető fejezetek a geometriába,
  3. H.S.M. Coxeter: A geometriák alapjai,
  4. R. Courant, H. Robbins: Mi a matematika?,
  5. Reiman I.: Geometria és határterületei