Math courses taught by the Bolyai Institute

Back Course code and title MBN422E Complex and Real Analysis Responsible Department Department of Analysis  Responsible instructor Dr. Kérchy László  Credit 5  Contact lecture hours 4  Type lecture  Type of exam exam  Curriculum Komplex függvények differenciálhatósága, a Cauchy-Riemann egyenletek. Harmonikus függvények. Törtlineáris függvények. Nevezetes egész függvények: az exponenciális és a trigonometrikus függvények, hatványsoraik és inverzeik. A görbe menti integrál. A Cauchy-féle integráltétel és integrálformula, Morera tétele. Analitikus függvények és tulajdonságaik: hatványsorba fejtés, zéróhelyek, a Maximum-tétel, Liouville tétele, a Schwartz-féle lemma. Az Algebra alaptétele. Analitikus függvények egyenletesen konvergens sorozatai. Laurent sorok, az izolált szinguláris helyek osztályozása. A Reziduum-tétel, a reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására. Mérték, mértéktér, mérték kiterjesztése félalgebráról -algebrára, külső mérték. Mérhető és integrálható függvények. Az integrál és tulajdonságai. Konvergencia tételek: Lebesgue tételei, Fatou lemmája. Borel mértékek, regularitás, Luzin tétele. Pozitív Borel mértékek megadása az egyenesen és Rn-en, a Lebesgue-féle mérték. A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata. Mértékterek szorzata, Fubini-tétel, végtelen sok valószínűségi mértéktér szorzata. Függvényterek, a Hölder- és a Minkowski-egyenlőtlenségek, a Riesz-Fisher tétel. Banach terek, Hilbert terek, Hilbert tér duálisa. Komplex mértékek, a teljes változás mérték. A Radon-Nikodym tétel, Lebesgue-felbontás, Hahn-felbontás. Suggested literature Conway, J.B.: Functions of one complex variable, Springer-Verlag, New York, 1984. Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002. Kérchy László: Hilbert terek operátorai, Polygon, Szeged, 2003. Parthasarathy, K.R.: Introduction to propability and measure, Springer-Verlag, 1978. Rudin, W.: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Kiadó, Budapest, 1978. Rudin, W.: Real and complex analysis, McGraw Hill Book Co, New York, 1966. Sarason, D.: Notes on complex function theory, Hindustan Book Agency, New Delhi, 1998. Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon, Szeged, 2002