A+ | A- | Ø
 
  • Magyar
 
 
Thursday, 17 April 2014
Math courses taught by the Bolyai Institute

Back

Course code and titleMBN231E Euclidean Geometry
Responsible DepartmentDepartment of Geometry 
Responsible instructorDr. Kurusa √Ārp√°d 
Credit
Contact lecture hours
Type 
Type of examexam 


Curriculum

Euklideszi s√≠k √©s t√©r gyors axiomatik√°ja (illeszked√©s, rendez√©s, metrika, t√ľkr√∂z√©s). Mer√Ķlegess√©g. K√∂t√∂tt vektor, szabad vektor, helyvektorok, line√°ris f√ľgg√Ķs√©g, f√ľggetlens√©g, gener√°l√°s, b√°zis, dimenzi√≥. (Affin) s√≠k √©s t√©r koordin√°t√°z√°sa, koordin√°ta transzform√°ci√≥, b√°zisv√°lt√°s, determin√°ns √©s s√≠k ir√°ny√≠t√°sa. Affin transzform√°ci√≥, mint line√°ris lek√©pez√©s √©s eltol√°s egy√©rtelm√Ľ szorzata. Affin f√ľggetlen pontok, affinit√°sok alapt√©tele.
Norma, tulajdons√°gai, ortogonalit√°s, paralellogramma szab√°ly, Euklideszi norma. Euklideszi szorz√°s, Euklideszi-s√≠k egys√©gk√∂re (elipszis). <u,v> < |u||v|, sz√∂gf√ľggv√©nyek, Euklideszi szorz√°s ONB-koordin√°t√°z√°sban, addici√≥s t√©telek. Izometrikus lek√©pez√©sek linearit√°sa, ortogon√°lis lek√©pez√©s inverz√©nek m√°trixa. Izometri√°k (d(f(x),f(y))/d(x,y)=1), Izometria-csoport.
S√≠kizometria-t√©tel (oszt√°lyoz√°s fixpontok szerint √©s el√Ķ√°ll√≠t√°suk t√ľkr√∂z√©sekb√Ķl). T√ľkr√∂z√©sek tulajdons√°gai (konjug√°l√°s, szorzat-redukci√≥k, ir√°ny√≠t√°sv√°lt√°s). Forgat√°sok √©s eltol√°sok tulajdons√°gai (sz√∂g-add√≠ci√≥s t√©tel; szabads√°gi fok, konjug√°l√°s, mozg√°scsoport). S√≠kizometri√°k felsorol√°sa.
T√©rizometria-t√©tel (oszt√°lyoz√°s fixpontok szerint √©s el√Ķ√°ll√≠t√°suk t√ľkr√∂z√©sekb√Ķl). T√ľkr√∂z√©sek tulajdons√°gai (konjug√°l√°s, szorzat-redukci√≥k, ir√°ny√≠t√°sv√°lt√°s). Forgat√°sok, eltol√°sok √©s csavarmozg√°s tulajdons√°gai (szabads√°gi fok, konjug√°l√°s) mozg√°scsoport. T√©rmozg√°s-csoport s√≠khat√°sa √©s a s√≠kizometria-csoport. T√©rizometri√°k felsorol√°sa. Egybev√°g√≥s√°g kiterjeszthet√Ķ izometri√°v√°; h√°romsz√∂gek √©s tetra√©derek egybev√°g√≥s√°ga. Szimmetria csoport. Szab√°lyos alakzatok (poligonok √©s poli√©derek).
Homot√©ci√°k (d(f(x),f(y))/d(x,y)=fix): fixpont l√©tez√©se, a dilat√°ci√≥ p√°rhuzamoss√°g-tart√≥ homot√©cia. Minden homot√©cia egy dilat√°ci√≥ √©s egy izometria szorzata. Hasonl√≥s√°g kiterjeszthet√Ķ homot√©ci√°v√°. H√°romsz√∂gek √©s tetra√©derek hasonl√≥s√°ga. P√°rhuzamos szel√Ķk t√©tele.
Affinitások (osztóviszonytartók). Két sík közti affinitás mindig egy párhuzamos vetítés (tengelyes affinitás) és egy homotécia szorzata. Affinitások alaptétele (egyenestartó bijektív leképezés affinitás).
Projektivitások (kettosviszonytartók). bijektív proj. affinitás (Perspektivitás projekció, de nem bijektív).
Ter√ľlet- √©s t√©rfogat-form√°k, Paralelepipedon t√©rfogata, vegyes √©s vektori√°lis szorz√°s vs. t√©rfogatform√°k.
Csoport-hatás, pálya. Diszkrét mozgáscsoport, szabályos pontrendszerek. Szabályos pontrendszerek szimmetria csoportja, kristályok, Barlow tétele. Diszkrét síkmozgáscsoportok osztályozása. Inverzióval bovített diszkrét mozgáscsoport. Konvexitás, poliéderek, szabályos testek.


Suggested literature

  1. A.N. Kolmogorov, Sz.V. Fomin: A f√ľggv√©nyelm√©let √©s a funkcion√°lanal√≠zis elemei,
  2. Szab√≥ Zolt√°n: Bevezet√Ķ fejezetek a geometri√°ba,
  3. H.S.M. Coxeter: A geometri√°k alapjai,
  4. R. Courant, H. Robbins: Mi a matematika?,
  5. Reiman I.: Geometria √©s hat√°rter√ľletei