Elõszó 9
Bevezetés 11

I. fejezet
HALMAZOK

Alapfogalmak      17
1.1. A halmazalgebra elemei. --- 1.2. Halmazok karakterisztikus függvényei. Függvények burkolói. --- 1.3. Megszámlálható halmazok. --- 1.4. Magasabb számosságú halmazok. --- 1.5. Halmaztest: egyszerû és Borel-féle.
Ponthalmazok     28
2.1. Torlódási pont. --- 2.2. Zárt ponthalmazok. --- 2.3. Nyitott ponthalmazok. --- 2.4. Borel-féle befedési tétel. --- 2.5. Ponthalmazok távolsága. --- 2.6. Cantor és Bendixson tétele. Cantor-féle triadikus halmaz.

II. fejezet
FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK

Folytonosság    49
1.1. Folytonosság és félig folytonosság egy pontban. Felsõ és alsó határérték. --- 1.2. Korlátos zárt halmazok mindenütt folytonos vagy félig folytonos függvények tulajdonságai.
Folytonos függvények sorozatai     58
2.1. Egyenletes és kvázi-egyenletes konvergencia. --- 2.2. Folytonos függvények folytonos függvényhez való tartásának szükséges feltételei. --- 2.3. Folytonos függvények monoton sorozatai. --- 2.4. Függvények osztályozása.
Folytonos függvények megközelítése polinomokkal      68
3.1. Weierstrass approximáció-tétele. --- 3.2. A Weierstrass---Stone-féle tétel. --- 3.3. Folytonos függvény folytonos folytatása.
Monoton és korlátos változású függvények      77
4.1. Jobb- és baloldali határértékek. Elsõfajú szakadások. --- 4.2. Monoton függvény folytonos és tiszta ugrórésze. --- 4.3. Korlátos változású függvények. --- 4.4. Változásban való majorálás.

III. fejezet
DIFFERENCIÁLHATÓSÁG

Monoton függvény differenciálhatósága       87
1.1. Példa sehol sem differenciálható folytonos függvényre. --- 1.2. A monoton függvény differenciálhatóságára vonatkozó Lebesgue-féle tétel. Nullahalmazok. --- 1.3. Lebesgue tételének bizonyítása (Riesz Frigyes szerint). --- 1.4. Fubini tétele monoton függvények sorának tagonkénti differenciálásáról. --- 1.5. Lineáris ponthalmazok sûrûségi pontjai.
Általános függvények deriváltszámai       101
2.1. Denjoy---Young---Saks tétele. --- 2.2. A tétel bizonyítása.

IV. fejezet
INTERVALLUMFÜGGVÉNYEK. RIEMANN-INTEGRÁL

Intervallumfüggvényekre vonatkozó általános tételek és alkalmazásaik      107
1.1. Intervallumfüggvény integrálja és differenciálhányadosa. --- 1.2. Darboux tétele. --- 1.3. Intervallumfüggvények differenciálására vonatkozó tételek. --- 1.4. Riemann-féle integrál. --- 1.5. Alkalmazások a korlátos változású függvényekre és a rektifikálható görbékre.
A Riemann-integrálról      121
2.1. A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma. --- 2.2. Mûveletek Riemann-integrálható függvényekkel. --- 2.3. Integrálfüggvény, primitív függvény. --- 2.4. Jordan-féle mérték.
Többváltozós függvények       132
3.1. Többdimenziós intervallumok függvényei. --- 3.2. Többváltozós függvény Riemann-integrálja. --- 3.3. Szukcesszív integráció.

V. fejezet
LEBESGUE-INTEGRÁL

A Lebesgue-integrál értelmezése és alapvetõ tulajdonságai      140
1.1. Bevezetés. --- 1.2. Lépcsõs függvény integrálja; két lemma. --- 1.3. Az integrálfogalom kiterjesztése. --- 1.4. Monoton függvénysorozat és állandó elõjelû függvénysor integrálása. Beppo Levi tétele. --- 1.5. Majorált sorozatok tagonkénti integrálása. Lebesgue tétele. --- 1.6. Fatou lemmája és a határértékfüggvény integrálhatóságára vonatkozó egyéb tételek. --- 1.7. A Riemann-féle integrálfogalom beillesztése az új elméletbe.
Az integrálfüggvények tulajdonságai      161
2.1. Integrálfüggvények totális variációja és differenciálhányadosa. --- 2.2. Példa szigorúan monoton folytonos függvényre, amelynek a differenciálhányadosa majdnem mindenütt 0. --- 2.3. Integrálfüggvények jellemzése: teljesen folytonos függvények. --- 2.4. Monoton függvények kanonikus felbontása. --- 2.5. Parciális és helyettesítéssel való integrálás.
Mérhetõ függvények és halmazok       174
3.1. Mérhetõ függvények. --- 3.2. Mérhetõ halmazok. --- 3.3. Mérhetõ halmazok és mérhetõ függvények közti összefüggés. --- 3.4. A mérhetõség, mérték és integrál eredeti Lebesgue-féle értelmezése és az ekvivalencia bizonyítása. --- 3.5. Példa nem mérhetõ halmazra. --- 3.6. Borel-mérhetõ halmazok és Baire-féle függvények. --- 3.7. Jegorov és Luzin tételei.
Többváltozós függvények       190
4.1. Az integrál értelmezése. Kétdimenziós és egydimenziós nullahalmazok kapcsolata. --- Fubini tétele a szukcesszív integrációról.

VI. fejezet
STIELTJES-INTEGRÁL ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSAI

Stieltjes-integrál és lineáris operációk folytonos függvényekre      195
1.1. Stieltjes-integrál. --- 1.2. Az integrálszámítás második középértéktétele. --- 1.3. Monoton függvényre vonatkozó Stieltjes-integrálhatóság kritériumai. --- 1.4. Folytonos függvényekre értelmezett lineáris operációk. --- 1.5. Lineáris operáció pozitív és negatív része. --- 1.6. A lineáris operáció integrál-elõállításának unicitása.
A Stieltjes-integrál általánosításai         214
2.1. Lebesgue---Stieltjes-integrál. --- 2.2. Összefüggések Lebesgue---Stieltjes-integrálok között. --- 2.3. A Stieltjes- és a Lebesgue---Stieltjes-integrál általánosítása több változóra.
Absztrakt halmazokon való Lebesgue-integrál    221
3.1. Az integrál értelmezése. --- 3.2. Szorzatterek. --- 3.3. Végtelen sok tér Descartes-szorzata.

VII. fejezet
INTEGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK TEREI

Az L2 függvénytér       234
1.1. Értelmezés. Alapvetõ egyenlõtlenségek. --- 1.2. Riesz---Fischer-tétel. --- 1.3. Ortogonális rendszerek. Minimum tulajdonság. Bessel-egyenlõtlenség. --- 1.4. Parseval-képlet és Riesz---Fischer-tétel ortogonális rendszerekre. --- 1.5. A Hilbert-tér és lineáris operációi. --- 1.6. Gram---Schmidt-féle ortogonalizálás. --- 1.7. Teljes ortogonális rendszer létezése az $L^2$ térben.
Fourier-sorok        255
2.1. A trigonometrikus rendszer teljessége. --- 2.2. Fourier-sor. --- 2.3. A Fourier-sor komplex alakja. --- 2.4. A Parseval-képlet alkalmazása az izoperimetrikus problémára.
Egyéb ortogonális függvényrendszerek      270
3.1. Legendre-féle polinomok. --- 3.2. Adott súlyfüggvényre nézve ortogonális polinomok. --- 3.3. Klasszikus ortogonális polinomok. --- 3.4. Haar-féle ortogonális rendszer. --- 3.5. Rademacher-féle rendszer.
Fourier-integrálok        284
4.1. Formális határátmenet Fourier-sorból. --- 4.2. Integrálható függvények Fourier-transzformációja. --- 4.3. Négyzetesen integrálható függvények Fourier-transzformációja.
Az Lp függvénytér         295
5.1. Értelmezések. Hölder- és Minkowski-féle egyenlõtlenség. --- 5.2. Lineáris operációk az Lp térben. --- 5.3. A Banach-tér fogalma.

VIII. fejezet
FOURIER-SOROK KONVERGENCIÁJA

Történeti megjegyzések. Néhány fizikai probléma       310
1.1. A rezgõ húr problémája. --- 1.2. Egy hõvezetési probléma. --- 1.3. Dirichlet-féle probléma kör esetére.
Konvergencia-tételek Fourier-sorokra      318
2.1. Néhány egyszerû tétel. --- 2.2. A Riemann---Lebesgue-féle lemma. --- 2.3. Dirichlet-féle formula. --- 2.4. Riemann-féle lokalizáció-tételek. --- 2.5. Dini-féle és Lipschitz-féle konvergencia-kritériumok. --- 2.6. Dirichlet---Jordan-féle tétel. --- 2.7. A $\sum(\sin kx)/k$ sorról. --- 2.8. Fejér példája folytonos függvényre, amelynek Fourier-sora divergens. --- 2.9. Konjugált sorok. Pringsheim-féle konvergencia-kritérium. --- 2.10. Lukács Ferenc tétele.

IX. fejezet
FOURIER-SOROK ÖSSZEGEZÉSE

Az összegezési eljárásokról általában      342
1.1. Bevezetés. --- 1.2. Alapvetõ tételek sorok összegezésére.
Fourier-sorok összegezése a részletösszegek számtani közepeivel      351
2.1. Fejér tétele. --- 2.2. Fejér tételének néhány következménye. --- 2.3. Lebesgue tétele. --- 2.4. Integrálható függvény Lebesgue-pontjai.
Forier-sorok összegezése az Abel---Poisson-féle módszerrel      360
3.1. Következtetés Fejér és Lebesgue tételeibõl. --- 3.2. Közvetlen bizonyítás a Poisson-integrál alapján.

Tárgy- és névmutató       367