Elõszó
9
Bevezetés 11
I.
fejezet
HALMAZOK
Alapfogalmak
17
1.1.
A halmazalgebra elemei. --- 1.2.
Halmazok karakterisztikus függvényei.
Függvények burkolói. --- 1.3.
Megszámlálható halmazok. --- 1.4. Magasabb
számosságú halmazok. --- 1.5. Halmaztest:
egyszerû és Borel-féle.
Ponthalmazok
28
2.1.
Torlódási pont. ---
2.2. Zárt ponthalmazok. --- 2.3. Nyitott ponthalmazok. --- 2.4.
Borel-féle befedési tétel. --- 2.5. Ponthalmazok
távolsága. --- 2.6. Cantor és Bendixson
tétele. Cantor-féle triadikus halmaz.
II.
fejezet
FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK
Folytonosság
49
1.1.
Folytonosság és félig folytonosság egy
pontban. Felsõ és alsó
határérték. --- 1.2. Korlátos zárt
halmazok mindenütt folytonos vagy félig folytonos
függvények tulajdonságai.
Folytonos függvények
sorozatai 58
2.1.
Egyenletes és
kvázi-egyenletes konvergencia. --- 2.2. Folytonos
függvények folytonos függvényhez való
tartásának szükséges feltételei. ---
2.3. Folytonos függvények monoton sorozatai. --- 2.4.
Függvények osztályozása.
Folytonos függvények
megközelítése
polinomokkal 68
3.1.
Weierstrass approximáció-tétele. --- 3.2. A
Weierstrass---Stone-féle tétel. --- 3.3. Folytonos
függvény folytonos folytatása.
Monoton és korlátos
változású
függvények 77
4.1.
Jobb- és baloldali
határértékek.
Elsõfajú szakadások. --- 4.2. Monoton
függvény folytonos és tiszta
ugrórésze. --- 4.3. Korlátos
változású
függvények. --- 4.4. Változásban való
majorálás.
III.
fejezet
DIFFERENCIÁLHATÓSÁG
Monoton függvény
differenciálhatósága
87
1.1.
Példa sehol sem
differenciálható folytonos
függvényre. --- 1.2. A monoton függvény
differenciálhatóságára vonatkozó
Lebesgue-féle tétel. Nullahalmazok. --- 1.3. Lebesgue
tételének bizonyítása (Riesz
Frigyes szerint). --- 1.4. Fubini tétele monoton
függvények sorának
tagonkénti differenciálásáról. ---
1.5. Lineáris ponthalmazok sûrûségi pontjai.
Általános
függvények
deriváltszámai
101
2.1.
Denjoy---Young---Saks
tétele. --- 2.2. A tétel bizonyítása.
IV. fejezet
INTERVALLUMFÜGGVÉNYEK. RIEMANN-INTEGRÁL
Intervallumfüggvényekre
vonatkozó
általános tételek és alkalmazásaik
107
1.1.
Intervallumfüggvény
integrálja és
differenciálhányadosa. --- 1.2. Darboux tétele.
--- 1.3. Intervallumfüggvények
differenciálására vonatkozó tételek.
--- 1.4. Riemann-féle integrál. --- 1.5.
Alkalmazások a korlátos
változású függvényekre és a
rektifikálható görbékre.
A Riemann-integrálról
121
2.1.
A
Riemann-integrálhatóság
Lebesgue-féle kritériuma. --- 2.2. Mûveletek
Riemann-integrálható
függvényekkel. --- 2.3.
Integrálfüggvény, primitív
függvény. --- 2.4. Jordan-féle mérték.
Többváltozós
függvények 132
3.1.
Többdimenziós
intervallumok függvényei. --- 3.2.
Többváltozós függvény
Riemann-integrálja. --- 3.3. Szukcesszív
integráció.
V.
fejezet
LEBESGUE-INTEGRÁL
A Lebesgue-integrál
értelmezése és
alapvetõ tulajdonságai
140
1.1.
Bevezetés. --- 1.2.
Lépcsõs függvény integrálja;
két lemma. --- 1.3. Az integrálfogalom
kiterjesztése. --- 1.4. Monoton függvénysorozat
és
állandó elõjelû függvénysor
integrálása. Beppo Levi tétele. --- 1.5.
Majorált sorozatok tagonkénti
integrálása. Lebesgue tétele. --- 1.6. Fatou
lemmája és a
határértékfüggvény
integrálhatóságára vonatkozó
egyéb tételek. --- 1.7. A Riemann-féle
integrálfogalom beillesztése
az új elméletbe.
Az
integrálfüggvények tulajdonságai
161
2.1.
Integrálfüggvények totális
variációja és differenciálhányadosa.
--- 2.2. Példa szigorúan monoton folytonos
függvényre, amelynek a differenciálhányadosa
majdnem mindenütt 0. --- 2.3.
Integrálfüggvények jellemzése: teljesen
folytonos függvények. --- 2.4. Monoton
függvények kanonikus felbontása. --- 2.5.
Parciális és helyettesítéssel
való integrálás.
Mérhetõ
függvények és halmazok
174
3.1.
Mérhetõ
függvények. --- 3.2. Mérhetõ halmazok. ---
3.3. Mérhetõ halmazok és mérhetõ
függvények közti összefüggés. ---
3.4. A mérhetõség, mérték és
integrál eredeti Lebesgue-féle értelmezése
és az ekvivalencia bizonyítása. --- 3.5.
Példa nem mérhetõ halmazra. --- 3.6.
Borel-mérhetõ halmazok és Baire-féle
függvények. --- 3.7. Jegorov és Luzin tételei.
Többváltozós
függvények 190
4.1.
Az integrál
értelmezése.
Kétdimenziós és egydimenziós nullahalmazok
kapcsolata. --- Fubini tétele a szukcesszív
integrációról.
VI.
fejezet
STIELTJES-INTEGRÁL ÉS
ÁLTALÁNOSÍTÁSAI
Stieltjes-integrál
és lineáris
operációk folytonos függvényekre
195
1.1.
Stieltjes-integrál. ---
1.2. Az integrálszámítás második
középértéktétele. --- 1.3. Monoton
függvényre vonatkozó
Stieltjes-integrálhatóság kritériumai. ---
1.4. Folytonos függvényekre értelmezett
lineáris operációk. --- 1.5. Lineáris
operáció pozitív és
negatív része. --- 1.6. A lineáris
operáció
integrál-elõállításának
unicitása.
A Stieltjes-integrál
általánosításai
214
2.1.
Lebesgue---Stieltjes-integrál. --- 2.2.
Összefüggések
Lebesgue---Stieltjes-integrálok között. --- 2.3. A
Stieltjes- és a Lebesgue---Stieltjes-integrál
általánosítása több
változóra.
Absztrakt halmazokon való
Lebesgue-integrál 221
3.1.
Az integrál
értelmezése. --- 3.2. Szorzatterek. --- 3.3.
Végtelen sok tér Descartes-szorzata.
VII.
fejezet
INTEGRÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK TEREI
Az
L2 függvénytér
234
1.1.
Értelmezés.
Alapvetõ
egyenlõtlenségek. --- 1.2. Riesz---Fischer-tétel.
--- 1.3. Ortogonális rendszerek. Minimum tulajdonság.
Bessel-egyenlõtlenség. --- 1.4. Parseval-képlet
és Riesz---Fischer-tétel
ortogonális rendszerekre. --- 1.5. A Hilbert-tér
és lineáris
operációi. --- 1.6. Gram---Schmidt-féle
ortogonalizálás. --- 1.7. Teljes ortogonális
rendszer létezése az $L^2$
térben.
Fourier-sorok
255
2.1.
A trigonometrikus rendszer
teljessége. --- 2.2. Fourier-sor. --- 2.3. A Fourier-sor komplex
alakja. --- 2.4. A Parseval-képlet alkalmazása az
izoperimetrikus
problémára.
Egyéb ortogonális
függvényrendszerek
270
3.1.
Legendre-féle polinomok.
--- 3.2. Adott súlyfüggvényre nézve
ortogonális polinomok. --- 3.3. Klasszikus ortogonális
polinomok. --- 3.4. Haar-féle ortogonális rendszer. ---
3.5. Rademacher-féle rendszer.
Fourier-integrálok
284
4.1.
Formális
határátmenet Fourier-sorból. --- 4.2.
Integrálható függvények
Fourier-transzformációja. --- 4.3. Négyzetesen
integrálható
függvények Fourier-transzformációja.
Az Lp függvénytér
295
5.1.
Értelmezések.
Hölder- és
Minkowski-féle egyenlõtlenség. --- 5.2.
Lineáris operációk az Lp térben. ---
5.3. A
Banach-tér fogalma.
VIII. fejezet
FOURIER-SOROK KONVERGENCIÁJA
Történeti
megjegyzések. Néhány fizikai
probléma 310
1.1.
A rezgõ húr
problémája. --- 1.2. Egy hõvezetési
probléma. --- 1.3. Dirichlet-féle probléma
kör esetére.
Konvergencia-tételek
Fourier-sorokra 318
2.1.
Néhány
egyszerû tétel. --- 2.2. A Riemann---Lebesgue-féle
lemma. --- 2.3. Dirichlet-féle formula. --- 2.4.
Riemann-féle lokalizáció-tételek. --- 2.5.
Dini-féle és Lipschitz-féle
konvergencia-kritériumok. --- 2.6.
Dirichlet---Jordan-féle tétel. --- 2.7. A $\sum(\sin
kx)/k$ sorról. --- 2.8. Fejér példája
folytonos
függvényre, amelynek Fourier-sora divergens. --- 2.9.
Konjugált sorok. Pringsheim-féle
konvergencia-kritérium. --- 2.10. Lukács Ferenc
tétele.
IX. fejezet
FOURIER-SOROK ÖSSZEGEZÉSE
Az összegezési
eljárásokról
általában 342
1.1.
Bevezetés. --- 1.2.
Alapvetõ tételek sorok
összegezésére.
Fourier-sorok
összegezése a részletösszegek
számtani közepeivel 351
2.1.
Fejér tétele. --- 2.2. Fejér
tételének néhány
következménye. --- 2.3. Lebesgue tétele. --- 2.4.
Integrálható függvény Lebesgue-pontjai.
Forier-sorok
összegezése az Abel---Poisson-féle
módszerrel 360
3.1.
Következtetés
Fejér és Lebesgue
tételeibõl. --- 3.2. Közvetlen
bizonyítás a Poisson-integrál
alapján.
Tárgy-
és névmutató
367