Elõszó i
Tartalom iii
0. Algebrai alapismeretek 1
I. Oszthatóság integritástartományokban.
Egységek.
Prím
és irreducibilis elemek 7
1. Oszthatóság 7
2. Legnagyobb közös osztó 11
3. Irreducibilis és prím elemek 14
4. Irreducibilis faktorizáció 16
5. Prímfaktorizáció 17
6. Fõideálgyûrû 18
7. Euklideszi gyûrû 20
8. Feladatok 24
II. Kongruenciák 27
1. Kétismeretlenes lineáris egyenletek
megoldása euklideszi gyûrûkben 27
2. Kongruenciák euklideszi gyûrûkben
29
3. Modulo m
maradékosztály-gyûrû 31
4. Euler-Fermat-tétel 33
5. Euler-Fermat-tétel elemi úton 35
6. Lineáris kongruencia-rendszerek 37
7. Wilson tétele 43
8. Magasabbfokú kongruenciák 44
9. Test fölötti polinom
különbözõ gyökeinek száma 48
10. Feladatok 50
III. Számelméleti függvények 53
1. Multiplikatív és gyengén
multiplikatív függvények 53
2. Összegezési függvény 57
3. Megfordítási függvény.
Számelméleti függvények konvolúciója
59
4. Feladatok 64
IV. A tökéletes számok. Barátságos
számpárok. Fibonacci- és Lucas-számok 67
1. Páros tökéletes számok
67
2. Páratlan tökéletes számok
70
3. Többszörösen tökéletes
számok 71
4. Barátságos számpárok
71
5. Fibonacci- és Lucas-számok 72
6. Feladatok 75
V. Primitív gyök 77
1. A primitív gyök ekvivalens
definíciói 77
2. Primitív gyök létezése
modulo p 78
3. Primitív gyök létezése
modulo pe és modulo 2pe 79
4. Nincs primitív gyök modulo
2e, ha e>2 82
5. Mely modulusokra létezik primitív
gyök és melyekre nem? 84
6. Indexek modulo m, ha
m=pe, 2pe és p
páratlan prím 84
7. Feladatok 85
VI. Négyzetes maradékok 87
1. Legendre-szimbólum 87
2. A négyzetes reciprocitás-tétel
90
3. A Jacobi-szimbólum 96
4. Feladatok 97
VII. Természetes számok felbontása
négyzetszámok összegére 99
1. Pythagoraszi számhármasok 99
2. A Fermat-sejtés n=4 esetén 101
3. 4k+1 alakú prímszámok
elõállítása két négyzetszám
összegeként 103
4. Lagrange tétele 106
5. Waring problémakör 109
6. Feladatok 109
VIII. Elemi prímszámelmélet 111
1. Végtelen sok prímszám létezik
111
2. A prímszámok reciprokaiból alkotott
sor divergens 113
3. Dirichlet tétele 115
4. A prímszámok eloszlásáról
115
IX. Lánctörtek 119
1. Véges lánctörtek 119
2. Végtelen lánctörtek 121
3. Irracionális számok
közelítése racionális számokkal 126
4. Periodikus lánctörtek 128
5. Pell-egyenlet 128
6. Feladatok 128
X. Algebrai számtestek, kvadratikus testek 131
1. Algebrai számtestek. Algebrai egészek
131
2. Kvadratikus testek. A kvadratikus testek egész
elemei 137
3. Norma a kvadratikus testekben 139
4. Egységek, prím- és irreducibilis
elemek kvadratikus testekben 140
5. Euklideszi és prímfaktorizációs
kvadratikus testek 143
6. A Q(i) test 145
7. A Q(a) test (a2 = -3) 147
8. A Q(b) test (b2 = 5)147
9. Alkalmazás: Lucas-teszt a Mersenne-számok
prímtesztelésére 150
10. Feladatok 153
XI. Transzcendens számok, Hilbert hetedik problémája
155
1. Rövid történeti áttekintés
155
2. Liouville tétele 156
3. Az e és a
transzcendens
számok 158
XII. A számelmélet és a
számítógép 163
1. Az RSA módszer 164
2. Prímteszt, összetettségi teszt
166
3. Fermat-álprímek 167
4. Carmichael-számok 167
5. Euler-álprímek 168
6. Dörzsölt álprímek 168
7. Miller és Lenstra prímtesztje 169
8. A Fermat-tétel Lehmer-féle
megforditása 169
9. Fermat-számok, Pepin tétele 170
10. A Fermat-tétel Lehmer-féle
megfordításának gyengített alakja 171
11. Faktorizáció 172
Függelék 175
1. Az 1000-nél kisebb prímszámok
és legkisebb primitiv gyökeik 175
2. Indextáblázatok 176
Jelölések 179
Név és tárgymutató 181
Irodalomjegyzék 183