Elõszó i
1. Bevezetés 1
2. Az analízis történetének rövid áttekintése 3
3. A valós számok 5
   3.1. A valós számok axiómái 5
   3.2. A számegyenes 8
   3.3. További fogalmak 9
   3.4. További összefüggések 10
   3.5. Környezet és intervallum 11
4. Számsorozatok 13
   4.1. Bevezetés 13
   4.2. A számsorozat fogalma 13
   4.3. Korlátos sorozatok 14
   4.4. Monoton sorozatok 15
   4.5. A részsorozat fogalma 16
   4.6. Sorozat határértéke 16
   4.7. Nevezetes sorozatok határértékei 19
   4.8. Konvergens sorozat tulajdonságai 22
   4.9. Mûveletek konvergens sorozatokkal 25
   4.10. Egyenlõtlenségekkel kapcsolatos határértéktételek 27
   4.11. Végtelenbe divergáló sorozatok (valódi divergens sorozatok) 28
   4.12. Néhány egyszerû állítás divergens sorozatokkal kapcsolatban 29
   4.13. Néhány példa és megoldási fogás 30
   4.14. A torlódási pont fogalma 32
   4.15. Konvergenciakritériumok 38
   4.16. Az (1+1/n)ⁿ sorozat határértéke 41
   4.17. Valós számsorok 42
5. Egyváltozós függvények 45
   5.1. Alapfogalmak 45
   5.2. Folytonos függvények 49
   5.3. Bal oldali és jobb oldali folytonosság 51
   5.4. Intervallumon folytonos függvények 52
   5.5. Az összetett függvények fogalma 54
   5.6. Az inverz függvény fogalma 55
   5.7. Az elemi függvények folytonossága 58
      5.7.9. Pozitív egész kitevõjû gyökfüggvények 59
      5.7.10. Negatív egész kitevõjû gyökfüggvények 60
      5.7.11. Törtkitevõs hatványfüggvények 60
   5.8. Exponenciális függvény 61
   5.9. Logaritmusfüggvény 64
   5.10. Irrracionális kitevõjû hatványfüggvény 65
   5.11. Trigonometrikus függvények 65
   5.12. Ciklometrikus függvények 68
   5.13. Elemi függvények 70
   5.14. Véges zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai 73
   5.15. Függvények határértéke 76
   5.16. Szakadási helyek fajai 78
   5.17. Végtelen határértékek 79
   5.18. Határérték a végtelenben 80
   5.19. Végtelen határérték a végtelenben 80
6. Függvények differenciálása 83
   6.1. Függvények differenciálhatósága 83
   6.2. A differenciálhányados és a differenciálhányados-függvény meghatározása 86
   6.3. Néhány elemi függvény differenciálása 88
   6.4. Összetett függvény differenciálhányadosa 91
   6.5. Inverz függvény differenciálhányadosa 91
   6.6. A ciklometrikus függvények differenciálhányadosai 92
   6.7. Logaritmusfüggvény differenciálhányadosa 93
   6.8. Exponenciális függvény differenciálhányadosa 94
   6.9. A hiperbolikus függvények differenciálása 95
   6.10. Középértéktételek 96
   6.11. Határozatlan kifejezések 99
7. Magasabbrendû differenciálhányadosok 105
   7.1. Leibniz-formula 105
   7.2. Taylor-formula 106
8. Függvénydiszkusszió 111
   8.1. A növekedés és csökkenés feltétele 111
   8.2. Pontban növekedés, illetve csökkenés feltétele 112
   8.3. A derivált Bolzano---Darboux-tulajdonsága 113
   8.4. Szélsõ érték létezésének elegendõ feltétele 114
   8.5. Szélsõ érték meghatározás magasabb rendû deriváltakkal 118
   8.6. Konvexség és konkávság eldöntése differenciálhányadosokkal 121
   8.7. Inflexiós pont kritériumai deriváltakkal 123
   8.8. A függvénydiszkusszió általános sémája 124
9. Primitív függvény 127
   9.1. A primitív függvény fogalma 127
   9.2. Primitív függvények meghatározása 129
   9.3. Helyettesítéssel való integrálás 131
   9.4. Parciális integrálás 133
   9.5. Rekurziós formulák 137
10. Határozott integrál 139
   10.1. Alapfogalmak 139
   10.2. Az alsó és felsõ összegek tulajdonságai 142
   10.3. A Riemann-integrál definíciója 145
   10.4. Integrálhatósági kritériumok 147
   10.5. A Darboux-tétel 149
   10.6. A határozott integrál tulajdonságai 153
   10.7. A Cauchy---Schwarz---Bunyakovszkij-féle egyenlõtlenség 159
   10.8. Az integrálszámítás elsõ középértéktétele 160
   10.9. Az integrálfüggvény 162
   10.10. A Newton---Leibniz-formula 163
11. Az integrálszámítás alkalmazásai 167
   11.1. Területszámítás 167
   11.2. Görbevonal ívhossza 174
   11.3. Forgástest térfogata 176
   11.4. Forgástest palástjának felszíne 178
   11.5. Taylor-formula integrállal adott maradéktaggal 180
12. Improprius integrálok 181
   12.1. Véges sok pontban nem értelmezett függvény improprius integrálja 181
   12.2. Nem korlátos függvény improprius integrálja 182
   12.3. Végtelen intervallumon vett improprius integrálok 183
   12.4. Kritériumok az improprius integrálok létezésére 184
13. Közelítõ integrálás 187
   13.1. Téglalapformulák 188
   13.2. Trapézformula 190
   13.3. Simpson-formula 190
14. Primitív függvények (folytatás) 193
   14.1. Racionális törtfüggvények integrálása 193
   14.2. Irracionális függvények integrálása 199
      14.2.1. R(x,\root n\of{ax+b\over cx+e}) (c^2+e^2\not=0 és ae\not=bc) alakú függvények integrálása 199
      14.2.2. Az \ds\int R(x, \root n\of{ax+b\over cx+e}, \root m\of{ax+b\over cx+e}\cdots)dx alakú integrálok kiszámítása 200
      14.2.3. R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) alakú függvények integrálása az ún. Euler-féle helyettesítéssel 200
   14.3. Trigonometrikus függvények integrálása 203
   14.4. R(e^x) alakú függvények integrálása 205
15. Differenciálegyenletek 207
   15.1. Alapfogalmak 207
   15.2. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 208
   15.3. Elsõrendû lineáris differenciálegyenletek 210
   15.4. Bernoulli-féle differenciálegyenletek 212
   15.5. Változókban homogén differenciálegyenletek 213
   15.6. Lagrange-féle differenciálegyenletek 214
   15.7. Clairaux-féle differenciálegyenletek 216
   15.8. Hiányos másodrendû differenciálegyenletek 217
   15.9. Másodrendû lineáris differenciálegyenletek 218
   15.10. Konstans együtthatós másodrendû lineáris differenciálegyenletek 224
   15.11. Másodrendû homogén Euler-féle differenciálegyenlet 226
16. A k-dimenziós térrel kapcsolatos alapfogalmak 229
   16.1. Vektori mûveletek definíciói 230
   16.2. A Cauchy-féle és a Minkowski-féle egyenlõtlenség 232
   16.3. Hausdorff-féle környezetaxiómák 233
17. Pontsorozatok konvergenciája 237
   17.1. Pontsorozatok konvergenciájának fogalma 237
   17.2. Konvergens pontsorozatok tulajdonságai 238
   17.3. Bolzano---Weierstrass-tétel 239
   17.4. Cauchy-féle konvergenciakritérium 241
18. A k-dimenziós halmazokról 243
19. Többváltozós függvények folytonossága és határértéke 247
20. Többváltozós függvények differenciálhatósága 253
   20.1. Parciális differenciálhányados 253
   20.2. Totális differenciálhatóság 255
   20.3. Többváltozós Lagrange-féle középértéktétel 264
   20.4. Irány szerinti differenciálás 266
   20.5. Magasabb rendû parciális differenciálhányadosok 267
   20.6. Schwarz-féle tétel 268
   20.7. Többváltozós Taylor-formula 273
21. Többváltozós függvények szélsõ értéke 277
   21.1. A szélsõ érték fogalma 277
   21.2. Feltételes szélsõ érték 282
22. Implicit és inverz függvényrendszerek 287
23. Vonalintegrálok 293
   23.1. A vonalintegrál fogalma 293
   23.2. A vonalintegrálok formális tulajdonságai 295
   23.3. A kvadraturaprobléma 304
24. Egzakt differenciálegyenletek 307
25. Jordan-féle terület 313
   25.1. Alapvetõ fogalmak 313
   25.2. Sokszögek Jordan-mértéke 323
26. Területi integrál 327
   26.1. A területi integrál fogalma 327
   26.2. A területi integrálok tulajdonságai 335
   26.3. Az integrálási tartományra vonatkozó állítások 336
   26.4. Integrálokra vonatkozó egyenlõtlenségek 338
   26.5. A területi integrál kiszámítása 340
   26.6. A kettõs integrál néhány egyszerû alkalmazása 348
      26.6.1. Síkidom tömegének kiszámítása 348
      26.6.2. Síkidom súlypontja 349
27. Többszörös integrálok transzformációja 351
28. Végtelen (valós) számsorok 357
   28.1. Alapvetõ fogalmak 357
   28.2. A Leibniz-kritérium 361
   28.3. Abszolút konvergens sorok 362
   28.4. Feltételesen konvergens sorok 367
   28.5. Pozitív tagú sorokra vonatkozó konvergenciakritériumok 369
29. Függvénysorozatok 373
30. Függvénysorok 381
   30.1. Alapvetõ fogalmak 381
   30.2. Hatványsorok 384
31. Összegfüggvények meghatározása, ill. sorfejtés 393
   31.1. Néhány ismert hatványsor összege 393
   31.2. Binomiális sorfejtés 397
32. Taylor-sor 403
Tárgymutató 407
Ajánlott irodalom 413