Diofantikus problémák - Fermat-sejtés témakörbe eső problémák:

• 2.72. probléma (ld. még 2.70; a könyv 63. oldalán): Pali ezt írta Petinek: \idez{Sikerült találnom az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek egy olyan megoldását, amelyben $x$, $y$, $z$, $n$ pozitív egész számok és $z<n.$} Peti megvakarta a fejét és ezt mondta: \idez{Nahát ez a Pali be akart engem csapni.} Miért gondolt Peti erre?
• 2.95. probléma** (a könyv 86. oldalán): Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)} azt mondja, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3,$ akkor az $$x^n+y^n=z^n$$ egyenletnek nincs pozitív egész számokból álló $x$, $y$, $z$ megoldása. A bizonyítást Fermat nem írta le. Ez a Fermat sejtésnek is nevezett feladat a matematika egyik leghíresebb problémája lett, amit sok részeredmény után A.\ Wiles az utóbbi években megoldott. Egy nagyon nevezetes részeredményt G.\ Faltings kapott $1983$-ban. Ez azt mondja, hogy minden $n\in \nn^+$, $n\geq3$ esetben a Fermat egyenletnek csak véges sok primitív megoldása lehet. $($Faltings ezért az eredményért Fields érmet kapott, ami a matematikai Nobel díjnak felel meg.$)$ Egy $x$, $y$, $z$ megoldást primitívnek nevezünk, ha $x$, $y$, $z$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója. Faltings is és Wiles is eredményeiket nagyon mély matematikai fogalmak és tételek segítségével nyerték. Most fogadjuk el Faltings tételét és ennek segítségével mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Minden páratlan $p$ prímszám esetén van olyan $M>0$ szám, hogy ha $k\in \nn^+$ és $n=pk>M,$ akkor {\rm FLT} igaz. \mitem{b)} Az a) pont segítségével adjunk meg végtelen sok olyan $n$ kitevőt, hogy ezek közül bármelyik kettő relatív prím szám, és {\rm FLT} mindegyik ilyen $n$ esetén igaz.\par
• 2.96. probléma** (a könyv 87. oldalán): Ha $n\in \nn^+$ és $n>2,$ akkor az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek nincs egész számokból álló olyan megoldása, ahol $xyz=0.$ Ez a híres Fermat sejtés, vagy Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)}. Fermat maga Diofantosz könyve egyik lapjának margójára azt írta, hogy erre egy igazán gyönyörű bizonyítást talált, de a hely túl kicsi, hogy oda azt leírja. Azóta is sokan keresték ezt a bizonyítást, de senki sem találta. Magát a sejtést az utóbbi években A.\ Wiles igazolta, de olyan eszközökkel, amelyeket Fermat biztosan nem ismert. Euler is tett kísérletet Fermat \idez{bizonyításának} újra felfedezésére. Ezt az ---eredménytelen--- kísérletet itt ismertetjük, mert nagyon tanulságosnak tartjuk.