Valószínűség-számítás - Klasszikus valószínűség témakörbe eső problémák:

• 1.19. probléma (ld. még 1.20; a könyv 17. oldalán): Mi az esélye annak, hogy egy játékos a lottón $($ahol $5$ számot kell eltalálni $90$-ből$)$ egy szelvénnyel játszva $5$-ös találatot érjen el?
• 5.1. probléma* (ld. még 5.2; a könyv 211. oldalán): {\rm Három kocka problémája.} Toscana hercege levelet írt Galileo Galileinek, melyben a következő problémát vetette fel, és várta a tudós válaszát. Abban az időben sokat kockáztak, feldobtak egyszerre három dobókockát, és nézték a három kockán dobott számok összegét. Összeszámolták, hogy az összeg hatféleképpen lehet $9$ $(1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3)$ és ugyancsak hatféleképpen lehet $10$ $(1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4)$. Mégis játék közben azt tapasztalták, hogy az összeg gyakrabban lesz $10$, mint $9$. Vajon miért mond ellent a számolás a tapasztalatnak?
• 5.2. probléma (ld. még 5.1; a könyv 211. oldalán): Három szabályos dobókockát feldobunk. \mitem{(a)}Mi a valószínűsége, hogy mindegyik dobott szám különböző? \mitem{(b)}Mi a valószínűsége, hogy nem mindegyik kocka mutatja ugyanazt a számot?\par
• 5.3. probléma (ld. még 5.4, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 212. oldalán): Az \aref{pk21}.\ ábrán látható két pörgettyű, melyekkel kétszer pörgetünk, mindkét alkalommal szabadon választva az $A$ ill.\ a $B$ pörgettyű közül. Akkor nyerünk, ha a nyíl által kijelölt színeket összekeverve lilát $($kék+piros$)$ kapunk. \mitem{(a)} Melyik pörgettyűt válasszuk az egyes pörgetésekhez, hogy a legnagyobb esélyünk legyen a győzelemre? \mitem{(b)} Most az első pörgetés eredményének ismeretében dönthetünk, hogy melyik pörgettyűt választjuk a második pörgetéshez. Hogyan érdemes választani először és másodszor?\par
• 5.4. probléma (ld. még 5.3, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 213. oldalán): Az \aref{pk22}.\ ábrán látható két pörgettyűt megpörgetve a kapott számokat összeszorozzuk, és keressük, hogy mekkora valószínűséggel lesz ez a szorzat páros. Egy tanuló ezt mondja: \idez{Egy szorzat páros, ha valamelyik tényezője páros, az első pörgettyűn ${2/3}$ valószínűséggel kapunk páros számot, a másodikon ${1/2}$ valószínűséggel, így a páros szorzat valószínűsége ${2/3}+{1/2}={7/6}>1$.} Mi a hiba?
• 5.5. probléma* (ld. még 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 5.8; a könyv 214. oldalán): Az $A$ esemény valószínűsége $3/4$, a $B$ eseményé $2/3$. Legyen $p$ annak a valószínűsége, hogy $A$ is és $B$ is bekövetkezik. Adjuk meg $p$ lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét!
• 5.6. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 214. oldalán): Öt darab $1-5$-ig számozott golyó van egy bögrében. András odamegy a bögréhez, és véletlenszerűen kivesz egy golyót. Utána jön Béla, ő is kivesz egy, az előzőtől különböző golyót. Mi a valószínűsége, hogy a két golyón levő számok összege páros?
• 5.7. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Egy játékban választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és nyerünk, ha $6$-t dobtunk, vagy két kockával dobunk, és nyerünk, ha a kapott számok összege $6$. Melyiket válasszuk?
• 5.8. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Csaba a következő játékot javasolja Neked: \idez{Feldobtok két szabályos dobókockát. Ha a két szám szorzata páratlan, vagy $5$-tel osztható, akkor Te nyersz, különben Csaba nyer.} Kinek előnyösebb a játék, és mekkora a Te nyerési esélyed?
• 5.9. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.10, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): András és Botond egy-egy kockával dobnak, az nyer, aki nagyobb számot dob, ha egyformát dobnak, akkor döntetlen. Mi a valószínűsége, hogy Botond nyer?
• 5.10. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.13, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): Két dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mennyi az egyes összegek dobásának valószínűsége?
• 5.11. probléma** (ld. még 5.8, 5.9, 5.10, 5.11; a könyv 217. oldalán): Két szabályos dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Láthatjuk, hogy annak valószínűsége, hogy az összeg $7$, sokkal nagyobb, mint annak valószínűsége, hogy $3$. Kérdés, hogy készíthető-e két olyan (nem szabályos) dobókocka, melyek lapjain $1$-től $6$-ig vannak a számok, és ezekkel dobva $2$-től $12$-ig minden összeg egyformán valószínű.
• 5.12. probléma** (ld. még 5.10, 5.11; a könyv 219. oldalán): Vegyünk két kockát, melyeket feldobva egyenlő valószínűséggel esnek bármelyik lapjukra. Meg lehet-e számozni pozitív egész számokkal a kockák lapjait a szokásostól eltérően úgy, hogy a következő két feltétel teljesüljön: \mitem{a)} a két kockát egyszerre feldobva a dobott számok összege $2$ és $12$ között legyen, \mitem{b)} bármely összeg dobásának valószínűsége ugyanakkora legyen, mint két szabályos dobókocka esetén.
• 5.13. probléma* (ld. még 5.14, 5.15; a könyv 219. oldalán): {\rm Efron kockái. (Bradley Efron stanfordi statisztikus fedezte fel a következő kockákat, a játék Martin Gardner {\rm Mathematical Games} című rovatában jelent meg a {\it Scientific American} 1970 decemberi számában)} \par Az \aref{pk01}.\ ábrán látható az $A$, $B$, $C$, $D$ kockák hálója, a kockák minden lapján egy-egy szám. Te meg én azt a játékot játsszuk, hogy először Te választasz egy kockát, aztán én, mindketten feldobjuk a kockánkat, és az nyer, aki nagyobb számot dob. Kinek nagyobb a nyerési esélye?
• 5.14. probléma* (ld. még 5.12, 5.14; a könyv 220. oldalán): Elhelyezhetők-e $1$-től $18$-ig az egész számok egy piros, egy kék és egy zöld kocka lapjain úgy, hogy minden szám pontosan egyszer szerepeljen, és $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a piros kockával nagyobb számot dobunk, mint a kékkel, $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a zölddel, mégis $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a zöld kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal.
• 5.15. probléma* (ld. még 5.13, 5.14; a könyv 220. oldalán): Egy közvéleménykutatás során egy társaság tagjait megkérték, hogy mondják el, milyen sorrendben kedvelik a következő sportágakat: tenisz, foci, kosárlabda. Ezután véletlenszerűen választva egy embert, \hbox{$1/2$-nél} nagyobb az esély, hogy jobban kedveli a teniszt, mint a focit, $1/2$-nél nagyobb az esély hogy jobban kedveli a focit, mint kosárlabdát, és $1/2$-nél nagyobb az esély, hogy jobban kedveli a kosárlabdát, mint a teniszt. Lehetséges ez, vagy tévedtek?
• 5.16. probléma* (ld. még 5.10; a könyv 221. oldalán): Egy kukoricapelyhet úgy akarnak népszerűbbé tenni, hogy minden dobozba belecsomagolnak egy mesefigurát. Hatféle mesefigura van, mindegyikből ugyanannyi, és mindegyikből nagyon sok, így feltehetjük, hogy akármikor veszünk egy dobozt, abban egyforma valószínűséggel lehet a hat figura valamelyike. A hónap eleji nagy bevásárláskor $15$ doboz kukoricapelyhet vásároltunk. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek? \mitem{(a)} Mindegyik dobozban ugyanolyan figura van. \mitem{(b)} Valamelyik figurából $10$ db-ot kaptunk, a többiből egyet-egyet. \mitem{(c)} Valamelyik figurából $5$ db-ot kaptunk, a többiből $2-2$-t. \mitem{(d)} Valamelyik figurából $4$ db-ot kaptunk, egy másikból $3$-t, a többiből $2-2$-t. \mitem{(e)} Mindegyik figurából legalább $2$ db-ot kaptunk.\par
• 5.17. probléma* (a könyv 223. oldalán): Véletlenszerűen választva a gyöngyök sorrendjét $3$ fehér és $5$ piros gyöngyből nyakláncot fűzünk. Mi a valószínűsége, hogy két fehér gyöngy nem lesz egymás mellett? \par\noindent András megoldása. {\rm Számoljuk meg, összesen hányféleképpen fűzhetők fel a gyöngyök. Először eltervezzük a fehérek helyét, és a fehér gyöngyök által meghatározott három ívre tesszük rá a pirosakat. Erre $5$ lehetőség van: $0+0+5;\ 0+1+4;\ 0+2+3;\ 1+1+3;\ 1+2+2$. Ezek közül kettő olyan, amikor két fehér gyöngy közé mindig kerül piros, így a keresett valószínűség: $2/5$.} \par\noindent Béla megoldása. {\rm Ha egy szakaszon kellene elhelyezni a gyöngyöket, akkor ${{8!}/({5!\cdot3!})}$ lehetőség volna, hiszen a $8$ gyöngyből $5$ illetve $3$ egyforma. A nyaklánc körbe fordulhat, $8$ helyen vághatom szét, hogy egyenes legyen, így az előző esetszámot osztani kell $8$-cal, vagyis $7$-féle nyaklánc fűzhető. Most azt számoljuk ki, hányféleképpen kerülhet két fehér gyöngy egymás mellé. Tekintsük egynek a két fehér gyöngyöt, ekkor a nyakláncon a gyöngyök összes lehetséges sorrendje $(1/7)\cdot({7!}/{5!})-1=5$, hiszen most az egy fehér különbözik a két fehértől, kivéve azt az egy esetet, amikor egymás mellett vannak. Így $7-5=2$ esetben nincs egymás mellett két fehér, vagyis a keresett valószínűség $2/7$. } \par\noindent Melyikük megoldását fogadjuk el?
• 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par
• 5.19. probléma (a könyv 225. oldalán): Egy kamion képét láthatjuk alulnézetből az \aref{pk07}.\ ábrán, a kerekek csoportokba vannak osztva a számozás szerint. Hirtelen $4$ kerék kidurran, mindegyik kerék ugyanakkora eséllyel durran ki. Mi a valószínűsége, hogy a hat kerékcsoportból legalább egy teljesen tönkremegy?
• 5.20. probléma (a könyv 225. oldalán): Egy zsákban rudak vannak, amelyek $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ egység hosszúak. Véletlenszerűen kihúzunk három rudat. Mi a valószínűsége annak, hogy ezekből háromszöget lehet összerakni?
• 5.21. probléma (a könyv 226. oldalán): Azok közül az egész számokból álló $(b;c)$ rendezett számpárok közül, melyeknek mindkét eleme abszolút értékben legfeljebb $5$-tel, egyenlő, találomra kiválasztunk egyet. Mindegyik ilyen rendezett számpár kiválasztása egyenlően valószínű. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az $x^2+bx+c=0$ egyenletnek nincsenek különböző pozitív valós gyökei?
• 5.22. probléma (a könyv 226. oldalán): Egy dobozban két darab $1$ forintos, négy darab $5$ forintos és hat darab $10$ forintos érme van. Hat pénzdarabot húzunk ki a dobozból visszatevés nélkül. Mindegyik érme húzása egyformán valószínű. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott hat pénzdarab együttes értéke legalább $50$ forint?
• 5.23. probléma* (a könyv 226. oldalán): Négy piros, három fehér és két kék golyót találomra egymás mellé téve mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyók nem kerülnek egymás mellé? \par\noindent András megoldása. {\rm A golyók összes lehetséges sorrendje: $${{9!}\over{4! 3!2!}}=4\cdot5\cdot7\cdot9=1260.$$ A kedvező eseteket úgy számoljuk össze, hogy először sorbarakjuk a nem fehér golyókat, jelük $o$, ezt ${{6!}/(4!2!)}=15$-féleképpen tehetjük, utána ezek közé, elé, mögé a \hbox{$\oszt$-val} jelölt helyek közül háromra elhelyezzük a három fehér golyót $(\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt)$. $7$ helyre $3$ egyforma golyót $\left(7\atop3\right)=35$-féleképpen helyezhetünk, így a kedvező esetek száma $15\cdot35=3\cdot5^2\cdot7.$ A keresett valószínűség: $${{3\cdot5^2\cdot7}\over{4\cdot5\cdot7\cdot9}}={5\over{3\cdot4}}={5\over{12}}.$$} \par\noindent Béla megoldása. {\rm A vizsgált esemény komplementerének a valószínűségét számoljuk ki, vagyis azt, hogy mekkora eséllyel van két fehér golyó egymás mellett. A két fehér golyót egynek vesszük, így a kedvező esetek száma ${{8!}/(4!\cdot2!)},$ mert $4$ piros, $2$ kék, $1$ dupla fehér, $1$ szimpla fehér golyónk van. Az összes eset most is ${{9!}/(4!\cdot3!\cdot2!)}$, így a keresett valószínűség: $$1-{\displaystyle{{8!}\over{4!\cdot2!}}\over\displaystyle{{9!}\over{4! \cdot3!\cdot2!}}}=1-{{8!\cdot3!}\over{9!}}=1-{2\over3}={1\over3}.$$} \par\noindent Kinek a megoldását fogadjuk el? Miért?
• 5.24. probléma (ld. még 5.25; a könyv 227. oldalán): Egy családban $1/2$ valószínűséggel születik fiú, $1/2$ valószínűséggel lány. \mitem{(a)} Mi a valószínűsége, hogy az első gyerek fiú, a második lány? \mitem{(b)} A családban már van egy fiú, és most várják a második gyerek születését. Mi a valószínűsége, hogy lány lesz? \mitem{(c)} Egy vendég jön a családhoz, és találkozik egy fiúval, aki elmeséli, hogy a testvére kosárlabda edzésre ment. Mi a valószínűsége, hogy a másik gyerek lány?\par
• 5.25. probléma (ld. még 5.24; a könyv 228. oldalán): Egy $52$ lapos francia kártyacsomagból kihúzunk egy lapot, megnézzük és visszatesszük. \mitem{(a)} Legalább hányszor kell húzni, hogy legalább $1/2$ legyen annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer ászt húztunk közben? \mitem{(b)} Mi a valószínűsége, hogy tizedikre ászt húzunk, ha előtte nem volt ász?\par
• 5.26. probléma** (ld. még 5.27, 5.28, 5.29; a könyv 228. oldalán): Véletlenországban a halálra ítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húzhatnak. Két urnát használnak erre, mindegyikben $25-25$ fehér és fekete golyó van. A bűnös szemét bekötik, így választ urnát és abból húz ki egy golyót. Ha fehéret húz kegyelmet kap, ha feketét, akkor kivégzik. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszése szerint ő oszthassa szét az urnákban. Kívánságát teljesítették. Kérdés hogyan ossza el a golyókat, ha nagyobb eséllyel akar megmenekülni?
• 5.27. probléma (ld. még 5.26, 5.28, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy urnában van $4$ piros és $2$ fehér golyó. Véletlenszerűen kiveszünk egy golyót, és helyette másik színűt teszünk az urnába $($piros helyett fehéret, fehér helyett pirosat$)$. Összerázzuk, majd ismét kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy ez a golyó piros?
• 5.28. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy $100$-nál nem nagyobb egészet úgy választunk ki, hogy $1-50$-ig bármely szám választásának esélye $p$, $51-100$-ig bármely szám választásának esélye $3p$. Mi a valószínűsége, hogy négyzetszámot választunk?
• 5.29. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.28; a könyv 230. oldalán): Egy $4\times 4\times 4$-es kocka lapjait befestettük, majd a kockát $64$ darab $1\times 1\times 1$-es kockára vágtuk szét. Ezután egy egységkockát véletlenszerűen kiválasztunk és feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kocka felső lapja festett lesz?
• 5.30. probléma (a könyv 230. oldalán): András és Bence egy pénzérmével játszanak. Feldobják az érmét, és András kap egy pontot, ha fej, Béla kap egy pontot, ha írás. Az győz, aki előbb ér el legalább $6$ pontot, és legalább $2$ ponttal többet szerzett, mint az ellenfele. Tehát pl.\ $6:5$-re nem lehet nyerni. Ha most $5:5$ az állás, akkor mi a valószínűsége, hogy András nyer $10:8$-ra?
• 5.35. probléma* (ld. még 5.36, 5.37, 5.38; a könyv 234. oldalán): A legegyszerűbb kétszemélyes játék az, hogy ha feldobnak egy pénzdarabot, és $A$ nyer, ha fej, $B$, ha írás. Egy másik gyakori verzió, ha mindketten feldobnak egy-egy pénzdarabot, $A$ nyer, ha két fej, vagy két írás jön ki, egyébként $B$ a nyerő. Ezt az utóbbi eljárást általánosíthatjuk: három emberből véletlenszerűen kiválasztható a nyerő: mindenki feldob egy-egy pénzérmét, ha $1$ fej, $2$ írás, vagy $1$ írás, $2$ fej jön ki, akkor az nyer, aki a fejet, illetve az írást dobta, más esetben újra dobnak. Ha $n$ játékos van, mindenki feldob egy-egy érmét, ha $1$ fej és $n-1$ írás, vagy $1$ írás és $n-1$ fej jön ki, akkor az nyer, aki az egy fejet, illetve az egy írást dobta, más esetben újra dobnak. A kérdésünk a következő: $n(>2)$ játékos esetén mi a valószínűsége annak, hogy a játék az első dobásnál véget ér?
• 5.36. probléma* (ld. még 5.35, 5.37, 5.38; a könyv 235. oldalán): Ha az előbbi játékot három barátommal együtt négyen játsszuk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy én nyerek? A válasz az, hogy a szimmetria-elv alapján az én nyerési esélyem ugyanannyi, mint társaimé, tehát mindegyikünké ${1/4}.$ Elfogadható-e ez a válasz?
• 5.37. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.38; a könyv 235. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék $($szabályos érmével$)$, melyben az egyik játékos nyerési esélye ${1/3}?$
• 5.38. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.37; a könyv 237. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék szabályos érmével, amelyben az egyik játékos ${1/ \pi}$ valószínűséggel nyer?
• 5.45. probléma* (a könyv 243. oldalán): Egy adott körön találomra választjuk az $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ pontokat $($\aref{pk28}.\ ábra$)$. Mennyi a valószínűsége, hogy az $ABC$ háromszög és a $DEF$ háromszög idegenek?
• 5.47. probléma** (a könyv 244. oldalán): Bergengóciában háromféle fémpénz van forgalomban, ezek ---növekvő értéksorrendben--- az {\rm alig}, a {\rm bagó} és a {\rm csenevész}. Márton és Nándor a következő játékot játszák. Márton elővesz egy általa választott érmét, erre Nándor köteles a másik két fajtából egyet-egyet elővenni. A három érmét egyszerre feldobják, és azé lesz mindhárom érme, akinek az írásra esett érméje, vagy érméi nagyobb összértéket képviselnek. \'Igy döntetlen csak akkor fordulhat elő, ha csupa fej jön ki, ebben az esetben mindenki megtartja a saját pénzét. A fiúk észreveszik, hogy a játék mindig igazságos, akármelyik érmét is veszi elő Márton. Kérdés: Hány {\rm alig}-ot ér egy {\rm csenevész}?
• 5.48. probléma** (a könyv 245. oldalán): {\rm Ültetési probléma.}\ Négy házaspár ül egy elnökségi asztalnál egy gyűlésen. Mi a valószínűsége annak, hogy egyetlen férj sem ül a felesége mellett?
• 5.49. probléma** (a könyv 246. oldalán): {\rm A szavazási probléma.}\ Tegyük fel, hogy egy választáson két jelölt van, $P$ és $Q$. A $P$ jelölt $p$ szavazatot kapott, $Q$ pedig $q$ szavazatot, $p>q.$ Ha a szavazatok minden sorrendje egyformán valószínű, akkor mi a valószínűsége annak, hogy $P$ a szavazatszámlálás során végig vezetett?