Valószínűség-számítás - Geometriai valószínűségi mező témakörbe eső problémák:

• 5.3. probléma (ld. még 5.4, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 212. oldalán): Az \aref{pk21}.\ ábrán látható két pörgettyű, melyekkel kétszer pörgetünk, mindkét alkalommal szabadon választva az $A$ ill.\ a $B$ pörgettyű közül. Akkor nyerünk, ha a nyíl által kijelölt színeket összekeverve lilát $($kék+piros$)$ kapunk. \mitem{(a)} Melyik pörgettyűt válasszuk az egyes pörgetésekhez, hogy a legnagyobb esélyünk legyen a győzelemre? \mitem{(b)} Most az első pörgetés eredményének ismeretében dönthetünk, hogy melyik pörgettyűt választjuk a második pörgetéshez. Hogyan érdemes választani először és másodszor?\par
• 5.4. probléma (ld. még 5.3, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 213. oldalán): Az \aref{pk22}.\ ábrán látható két pörgettyűt megpörgetve a kapott számokat összeszorozzuk, és keressük, hogy mekkora valószínűséggel lesz ez a szorzat páros. Egy tanuló ezt mondja: \idez{Egy szorzat páros, ha valamelyik tényezője páros, az első pörgettyűn ${2/3}$ valószínűséggel kapunk páros számot, a másodikon ${1/2}$ valószínűséggel, így a páros szorzat valószínűsége ${2/3}+{1/2}={7/6}>1$.} Mi a hiba?
• 5.5. probléma* (ld. még 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 5.8; a könyv 214. oldalán): Az $A$ esemény valószínűsége $3/4$, a $B$ eseményé $2/3$. Legyen $p$ annak a valószínűsége, hogy $A$ is és $B$ is bekövetkezik. Adjuk meg $p$ lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét!
• 5.6. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 214. oldalán): Öt darab $1-5$-ig számozott golyó van egy bögrében. András odamegy a bögréhez, és véletlenszerűen kivesz egy golyót. Utána jön Béla, ő is kivesz egy, az előzőtől különböző golyót. Mi a valószínűsége, hogy a két golyón levő számok összege páros?
• 5.8. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Csaba a következő játékot javasolja Neked: \idez{Feldobtok két szabályos dobókockát. Ha a két szám szorzata páratlan, vagy $5$-tel osztható, akkor Te nyersz, különben Csaba nyer.} Kinek előnyösebb a játék, és mekkora a Te nyerési esélyed?
• 5.9. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.10, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): András és Botond egy-egy kockával dobnak, az nyer, aki nagyobb számot dob, ha egyformát dobnak, akkor döntetlen. Mi a valószínűsége, hogy Botond nyer?
• 5.10. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.13, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): Két dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mennyi az egyes összegek dobásának valószínűsége?
• 5.11. probléma** (ld. még 5.8, 5.9, 5.10, 5.11; a könyv 217. oldalán): Két szabályos dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Láthatjuk, hogy annak valószínűsége, hogy az összeg $7$, sokkal nagyobb, mint annak valószínűsége, hogy $3$. Kérdés, hogy készíthető-e két olyan (nem szabályos) dobókocka, melyek lapjain $1$-től $6$-ig vannak a számok, és ezekkel dobva $2$-től $12$-ig minden összeg egyformán valószínű.
• 5.39. probléma (a könyv 237. oldalán): Egy $2,5$ dm hosszúságú pálcát véletlenszerűen kettétörünk. A darabokat megmérjük deciméterben, és egészre kerekítjük. Mennyi a valószínűsége, hogy ezen egészek összege $3$?
• 5.40. probléma (a könyv 238. oldalán): Legyen $P$ egy szabályos hatszög belső pontja. Mi a valószínűsége, hogy $P$-ből az oldalegyenesekre bocsátott merőlegesek talppontja az oldalak belső pontja?
• 5.41. probléma (a könyv 238. oldalán): Tekintsük a következő négy céltáblát $($\aref{pk26}.\ ábra$)$. Mindegyik céltáblára véletlenszerűen lövünk. Melyiknél legnagyobb a körbe találás valószínűsége?
• 5.42. probléma* (ld. még 5.43, 5.44; a könyv 238. oldalán): Véletlenszerűen rajzolva egy háromszöget, mi a valószínűsége, hogy a háromszög tompaszögű?
• 5.43. probléma* (ld. még 5.42, 5.44; a könyv 242. oldalán): Mi a valószínűsége, hogy $x$, $y$ két pozitív $1$-nél kisebb szám az $1$-gyel együtt egy tompaszögű háromszög oldalai?
• 5.44. probléma* (ld. még 5.43, 5.42; a könyv 243. oldalán): Egy $P$ pontot véletlenszerűen választunk egy egyenlő oldalú háromszögben. $P$-ből merőlegest bocsátunk az oldalakra, melyek talppontjai $X$, $Y$, $Z$ $($\aref{pk27}.\ ábra$)$. Mi a valószínűsége, hogy a $PX$, $PY$, $PZ$ szakaszok háromszöget határoznak meg?
• 5.46. probléma (a könyv 244. oldalán): Egy gömb felületén véletlenszerűen választunk három pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy a választott pontok egy félgömbön lesznek?