Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Valószínűség-számítás - Feltételes valószínűség, események témakörbe eső problémák:
- 5.24. probléma (ld. még 5.25; a könyv 227. oldalán): Egy családban $1/2$ valószínűséggel születik fiú, $1/2$ valószínűséggel lány. \mitem{(a)} Mi a valószínűsége, hogy az első gyerek fiú, a második lány? \mitem{(b)} A családban már van egy fiú, és most várják a második gyerek születését. Mi a valószínűsége, hogy lány lesz? \mitem{(c)} Egy vendég jön a családhoz, és találkozik egy fiúval, aki elmeséli, hogy a testvére kosárlabda edzésre ment. Mi a valószínűsége, hogy a másik gyerek lány?\par
- 5.25. probléma (ld. még 5.24; a könyv 228. oldalán): Egy $52$ lapos francia kártyacsomagból kihúzunk egy lapot, megnézzük és visszatesszük. \mitem{(a)} Legalább hányszor kell húzni, hogy legalább $1/2$ legyen annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer ászt húztunk közben? \mitem{(b)} Mi a valószínűsége, hogy tizedikre ászt húzunk, ha előtte nem volt ász?\par
- 5.26. probléma** (ld. még 5.27, 5.28, 5.29; a könyv 228. oldalán): Véletlenországban a halálra ítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húzhatnak. Két urnát használnak erre, mindegyikben $25-25$ fehér és fekete golyó van. A bűnös szemét bekötik, így választ urnát és abból húz ki egy golyót. Ha fehéret húz kegyelmet kap, ha feketét, akkor kivégzik. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszése szerint ő oszthassa szét az urnákban. Kívánságát teljesítették. Kérdés hogyan ossza el a golyókat, ha nagyobb eséllyel akar megmenekülni?
- 5.27. probléma (ld. még 5.26, 5.28, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy urnában van $4$ piros és $2$ fehér golyó. Véletlenszerűen kiveszünk egy golyót, és helyette másik színűt teszünk az urnába $($piros helyett fehéret, fehér helyett pirosat$)$. Összerázzuk, majd ismét kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy ez a golyó piros?
- 5.28. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy $100$-nál nem nagyobb egészet úgy választunk ki, hogy $1-50$-ig bármely szám választásának esélye $p$, $51-100$-ig bármely szám választásának esélye $3p$. Mi a valószínűsége, hogy négyzetszámot választunk?
- 5.29. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.28; a könyv 230. oldalán): Egy $4\times 4\times 4$-es kocka lapjait befestettük, majd a kockát $64$ darab $1\times 1\times 1$-es kockára vágtuk szét. Ezután egy egységkockát véletlenszerűen kiválasztunk és feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kocka felső lapja festett lesz?
- 5.31. probléma** (ld. még 5.26; a könyv 230. oldalán): András, Béla és Csaba teniszeznek. András a leggyengébb játékos, Béla a legerősebb, és feltesszük, hogy annak valószínűsége, hogy egy játékos legyőz egy másikat, a verseny során nem változik. A következő szabályok szerint játszanak: \mitem{(a)} Egy meccsen két ember játszik, döntetlen nincs. \mitem{(b)} A leggyengébb játékos választja ki az első meccs két résztvevőjét. \mitem{(c)} A további mérkőzéseken az első meccs győztese játszik a harmadikkal $($egy ember kétszer is játszhat ugyanazzal$)$. \mitem{(d)} Az nyeri a versenyt, akinek először lesz két nyert meccse. \par\noindent Hogyan válassza ki András az első meccs két résztvevőjét, hogy neki a lehető legnagyobb esélye legyen a végső győzelemre?
- 5.32. probléma* (ld. még 5.30; a könyv 231. oldalán): Egy Jack nevű tengerész balga módon megsértette két társát Billt és Bobot, akik ezért párbajozni akarnak vele. Jack kiváló rábeszélő képességével elérte, hogy ne mindketten rá lőjenek, hanem mindenki lőhessen mindenkire, aki megsérül, az kiáll. Jack, Bill és Bob egy egyenlő oldalú háromszög három csúcsában helyezkednek el, kisorsolják, hogy ki lő először, utána az óramutató járása szerint következnek lövésre a még ép résztvevők. Állapítsuk meg, hogy kinek mennyi esélye van arra, hogy sértetlenül megússza a párbajt, ha Jack $50$\%-os, Bob $80$\%-os, Bill $100$\%-os valószínűséggel talál célba?
- 5.33. probléma* (ld. még 5.32, 5.34; a könyv 232. oldalán): Ernő teniszkarrierjét biztosítandó, az apja díjat ajánlott fel, ha megnyer két egymás utáni meccset egy hármas sorozatból, melyet felváltva játszik az apjával és a klub bajnokával $($aki jobb az apánál$)$. Ernő választhat, hogy bajnok-apa-bajnok vagy apa-bajnok-apa sorozatot játszik. Melyiket válassza?
- 5.34. probléma* (ld. még 5.32, 5.33; a könyv 234. oldalán): Albert és Botond olyan érmével játszanak, amelyen a fej dobásának a valószínűsége $p$ $(0<p<1)$. Ismételten dobálják az érmét, amíg az FFF vagy az FIF sorozat valamelyike meg nem jelenik. Ha FFF előbb jön ki, mint az FIF, akkor Albert nyer, ha pedig az FIF jelenik meg előbb, mint FFF, akkor Botond nyer. A $p$ milyen értékére igazságos a játék?