Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Valószínűség-számítás - Egyéb valószínűség-számítás témakörbe eső problémák:
- 5.31. probléma** (ld. még 5.26; a könyv 230. oldalán): András, Béla és Csaba teniszeznek. András a leggyengébb játékos, Béla a legerősebb, és feltesszük, hogy annak valószínűsége, hogy egy játékos legyőz egy másikat, a verseny során nem változik. A következő szabályok szerint játszanak: \mitem{(a)} Egy meccsen két ember játszik, döntetlen nincs. \mitem{(b)} A leggyengébb játékos választja ki az első meccs két résztvevőjét. \mitem{(c)} A további mérkőzéseken az első meccs győztese játszik a harmadikkal $($egy ember kétszer is játszhat ugyanazzal$)$. \mitem{(d)} Az nyeri a versenyt, akinek először lesz két nyert meccse. \par\noindent Hogyan válassza ki András az első meccs két résztvevőjét, hogy neki a lehető legnagyobb esélye legyen a végső győzelemre?
- 5.32. probléma* (ld. még 5.30; a könyv 231. oldalán): Egy Jack nevű tengerész balga módon megsértette két társát Billt és Bobot, akik ezért párbajozni akarnak vele. Jack kiváló rábeszélő képességével elérte, hogy ne mindketten rá lőjenek, hanem mindenki lőhessen mindenkire, aki megsérül, az kiáll. Jack, Bill és Bob egy egyenlő oldalú háromszög három csúcsában helyezkednek el, kisorsolják, hogy ki lő először, utána az óramutató járása szerint következnek lövésre a még ép résztvevők. Állapítsuk meg, hogy kinek mennyi esélye van arra, hogy sértetlenül megússza a párbajt, ha Jack $50$\%-os, Bob $80$\%-os, Bill $100$\%-os valószínűséggel talál célba?
- 5.33. probléma* (ld. még 5.32, 5.34; a könyv 232. oldalán): Ernő teniszkarrierjét biztosítandó, az apja díjat ajánlott fel, ha megnyer két egymás utáni meccset egy hármas sorozatból, melyet felváltva játszik az apjával és a klub bajnokával $($aki jobb az apánál$)$. Ernő választhat, hogy bajnok-apa-bajnok vagy apa-bajnok-apa sorozatot játszik. Melyiket válassza?
- 5.34. probléma* (ld. még 5.32, 5.33; a könyv 234. oldalán): Albert és Botond olyan érmével játszanak, amelyen a fej dobásának a valószínűsége $p$ $(0<p<1)$. Ismételten dobálják az érmét, amíg az FFF vagy az FIF sorozat valamelyike meg nem jelenik. Ha FFF előbb jön ki, mint az FIF, akkor Albert nyer, ha pedig az FIF jelenik meg előbb, mint FFF, akkor Botond nyer. A $p$ milyen értékére igazságos a játék?
- 5.35. probléma* (ld. még 5.36, 5.37, 5.38; a könyv 234. oldalán): A legegyszerűbb kétszemélyes játék az, hogy ha feldobnak egy pénzdarabot, és $A$ nyer, ha fej, $B$, ha írás. Egy másik gyakori verzió, ha mindketten feldobnak egy-egy pénzdarabot, $A$ nyer, ha két fej, vagy két írás jön ki, egyébként $B$ a nyerő. Ezt az utóbbi eljárást általánosíthatjuk: három emberből véletlenszerűen kiválasztható a nyerő: mindenki feldob egy-egy pénzérmét, ha $1$ fej, $2$ írás, vagy $1$ írás, $2$ fej jön ki, akkor az nyer, aki a fejet, illetve az írást dobta, más esetben újra dobnak. Ha $n$ játékos van, mindenki feldob egy-egy érmét, ha $1$ fej és $n-1$ írás, vagy $1$ írás és $n-1$ fej jön ki, akkor az nyer, aki az egy fejet, illetve az egy írást dobta, más esetben újra dobnak. A kérdésünk a következő: $n(>2)$ játékos esetén mi a valószínűsége annak, hogy a játék az első dobásnál véget ér?
- 5.36. probléma* (ld. még 5.35, 5.37, 5.38; a könyv 235. oldalán): Ha az előbbi játékot három barátommal együtt négyen játsszuk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy én nyerek? A válasz az, hogy a szimmetria-elv alapján az én nyerési esélyem ugyanannyi, mint társaimé, tehát mindegyikünké ${1/4}.$ Elfogadható-e ez a válasz?
- 5.37. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.38; a könyv 235. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék $($szabályos érmével$)$, melyben az egyik játékos nyerési esélye ${1/3}?$
- 5.38. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.37; a könyv 237. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék szabályos érmével, amelyben az egyik játékos ${1/ \pi}$ valószínűséggel nyer?