Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Azonosságok - Szorzat, hatványozás azonoságai témakörbe eső problémák:
- 2.9. probléma* (ld. még 2.8; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy {\openup\jot \mitem{a)} $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=0;$ \mitem{b)} $(a^2-bc)^3+(b^2-ac)^3+(c^2-ab)^3-3(a^2-bc) (b^2-ac)(c^2-ab)=(a^3+b^3+c^3-3abc)^2;$ \mitem{c)} $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3-3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=$ $4(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{d)} $(3a-b-c)^3+(3b-c-a)^3+(3c-a-b)^3-3(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=$ $16(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{e)} $(4a-b-c)^3+(4b-c-a)^3+(4c-a -b)^3-3(4a-b-c)(4b-c-a)(4c-a-b)=$ $50(a^3+b^3+c^3-3abc).$\par}
- 2.11. probléma (a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$a_1^2+b_1^2=1,\quad a_2^2+b_2^2=1,\quad a_1a_2+b_1b_2=0,$$ akkor $$a_1^2+a_2^2=1,\quad b_1^2+b_2^2=1,\quad a_1b_1+a_2b_2=0.$$
- 2.13. probléma (a könyv 25. oldalán): Elő lehet-e állítani az $$xy(7x-2)(5y+2)$$ kifejezést $P^2(x,y)-Q^2(x,y)$ alakban, ahol $P$ és $Q$ az $x$ és $y$ polinomja és az együtthatók egész számok?
- 2.14. probléma (ld. még 2.9; a könyv 25. oldalán): \'Irjuk egyszerűbb alakba a következő törteket $($anélkül, hogy külön kiírnánk, kizárjuk azokat az értékeket, ahol a nevező $0)$: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{1\over{(a+b)^2}}{\left({1\over{a^2}}+{1\over{b^2}}\right)}+ {2\over{(a+b)^3}}{\left({1\over a}+{1\over b}\right)}$ \mitem{b)} $\displaystyle{{a+b}\over{ax+by}}+{{a-b}\over{ax-by}}+{{2(a^2x+ b^2y)}\over{a^2x^2+b^2y^2}}-{{4(a^4x^3-b^4y^3)}\over{a^4x^4- b^4y^4}}$ \mitem{c)} $\displaystyle{a\over{a^3+a^2b+ab^2+b^3}}+{b\over{a^3-a^2b+ab^2-b^3}} +{1\over{a^2-b^2}}-{1\over{a^2+b^2}}-{{a^2+3b^2}\over{a^4-b^4}}$ \mitem{d)} $\displaystyle{1\over{a(a-b)(c-a)}}+{1\over{b(a-b)(b-c)}}+{1\over {c(c-a)(b-c)}}$ \mitem{e)} $\displaystyle{{a^2-b^2}\over{(a+b)^2}}+{{b^2-c^2}\over{(b+c)^2}}+ {{c^2-a^2}\over{(c+a)^2}}$ \mitem{f)} $\displaystyle{{bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{ca}\over{(b+c)(b+a)}}+ {{ab}\over{(c+a)(c+b)}}+{{2abc}\over{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ \mitem{g)} $\displaystyle{{a^2-bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{b^2-ac}\over{(b+ c)(b+a)}}+{{c^2-ab}\over{(c+a)(c+b)}}$ \mitem{h)} $\displaystyle{{(a-x)(a-y)(a-z)}\over{(a-b)(a-c)}}+{{(b-x)(b- y)(b-z)}\over{(b-c)(b-a)}}+{{(c-x)(c-y)(c-z)}\over{(c- a)(c-b)}}$\par}
- 2.15. probléma* (ld. még 2.8, 2.9, 2.16; a könyv 26. oldalán): Legyen $$t_n={{a^n}\over{(a-b)(a-c)}}+{{b^n}\over{(b-a)(b- c)}}+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)}}.$$ Számítsuk ki $t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ és $t_4$-et.
- 2.16. probléma (ld. még 2.15; a könyv 27. oldalán): Legyen $$\eqalign{s_n&={{a^n}\over{(a-b)(a-c)(a-d)}}+{{b^n}\over{(b-a) (b-c)(b-d)}}\cr &\qquad+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)(c-d)}}+{{d^n}\over{(d-a) (d-b)(d-c)}}.\cr}$$ Mutassuk meg, hogy $s_0=s_1=s_2=0$, $s_3=1$, $s_4=a+b+c+d.$
- 2.17. probléma* (a könyv 27. oldalán): Az $a$, $b$, $c$ olyan valós számok, hogy $$ {{b^2+c^2-a^2}\over{ 2bc}}+{{c^2+a^2-b^2}\over{2ac}}+{{a^2+b^2-c^2}\over{2ab}}=1.$$ A bal oldalon levő összeadandókról tudunk-e ekkor valami speciálisat állítani? Például: mindegyik $1/3$ kell legyen, vagy mindegyik pozitív, vagy kettő közülük $1$, a harmadik pedig $-1,$ vagy bármely olyan hármas előfordulhat, amely összegül $1$-et ad, vagy valami olyan tulajdonság érvényes, ami itt nincs felsorolva?
- 2.18. probléma (ld. még 2.9; a könyv 28. oldalán): \'Irjuk fel egyszerűbb alakban a következő kifejezéseket: {\openup\jot \mitem{a)}$\displaystyle{n^3-3n-2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}\over n^3-3n+ 2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}}$ \mitem{b)} $\displaystyle\left({ \sqrt{1+x}\over\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}}+{1-x\over\sqrt{1-x^2}-1+x}\right) \left(\sqrt{{1\over x^2}-1}-{1\over x}\right)$. Itt azt tesszük fel, hogy $0<x<1$. \mitem{c)} $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$ Itt legyen $x\geq 1$.\par}
- 2.19. probléma* (a könyv 29. oldalán): Előállítható-e a $\root 3\of 2$ szám $a+b\sqrt r$ alakban, ahol $a$, $b$, $r$ racionális számok?
- 2.26. probléma (a könyv 33. oldalán): Léteznek-e olyan $x$, $y$ irracionális számok, hogy $x^y$ racionális legyen?
- 2.27. probléma (a könyv 33. oldalán): Nyolc egymás után következő pozitív egész szám szorzata lehet-e teljes negyedik hatvány?
- 2.30. probléma* (ld. még 2.9; a könyv 35. oldalán): Az $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ egész számokról tudjuk, hogy összegük és négyzeteik összege is osztható az $n$ páratlan egész számmal. Igazoljuk, hogy akkor $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$$ is osztható $n$-nel!
- 2.43. probléma* (a könyv 42. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket:$$\eqalign{&1+{1\over2}+{1 \over{1\cdot2}}=2,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over{1\cdot2}}+ {1\over{2\cdot3}}+{1\over{3\cdot1}}+{1\over{1\cdot2\cdot3}}=3,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+ {1\over4}+{1\over{1\cdot2}}+{1\over{1 \cdot3}}+\cdots+{1\over{2\cdot3\cdot4}}+{1\over{1\cdot2\cdot3\cdot4}}= 4.\cr}$$ Véletlen ez, amit észreveszünk, vagy általánosan is igaz? Fogalmazzuk meg pontosan a kérdést és azután próbáljuk megoldani!
- 2.77. probléma* (a könyv 66. oldalán): Három, páronként különböző prímszám köbgyökei lehetnek-e egy számtani sorozat $($nem feltétlenül egymás után következő$)$ tagjai?
- 3.8. probléma (ld. még 3.9; a könyv 98. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca.$$ Általánosítsuk a feladatot! \mitem{b)} Igazoljuk, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$3(a^2+b^2+c^2) \geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca).$$
- 3.18. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.21; a könyv 113. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a>b>0,$ akkor $n\in \nn^+$ esetén $$a^n(a-(n+1) (a-b))<b^{n+1}.$$
- 3.21. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 117. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $${1\over {a^3+b^3+abc}}+{1\over{b^3+c^3+abc}}+{1\over{c^3+a^3+abc}}\leq{1\over {abc}}.$$
- 6.1. probléma (ld. még 6.2, 6.3, 6.8; a könyv 251. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ egy háromszög oldalai. Vannak-e olyan $k$ és $K$ számok, hogy bármely háromszög esetén $$k\leq S= \left|{a\over b}+{b\over c}+{c\over a}-{b\over a}-{c\over b}-{a\over c} \right|\leq K.$$