Teljes indukció módszere - Teljes indukció módszere témakörbe eső problémák:

• 2.34. probléma (ld. még 2.35, 2.36; a könyv 37. oldalán): Mutassuk meg, hogy minden $n$ természetes szám esetén : {\openup\jot \mitem{a)} $9\oszt 4^n+15n-1;$ \mitem{b)} $27\oszt 10^n+18n-1;$ \mitem{c)} $64\oszt 3^{2n+3}+40n-27;$ \mitem{d)} $169\oszt 3^{3n+3}-26n-27;$ \mitem{e)} $25\oszt 2^{n+2}3^n+5n-4;$ \mitem{f)} $64\oszt 4\cdot3^{2n+2}+32n-36.$\par}
• 2.35. probléma** (ld. még 2.34, 2.36; a könyv 37. oldalán): Az előző példában levő hat feladat nagyon hasonló: mindegyik esetben $ab^n+cn+d$ alakú kifejezésnek valamely $m$ számmal való oszthatóságát kell igazolni minden $n$ természetes szám esetén. Milyen feltételeknek tegyenek eleget az $a$, $b$, $c$, $d$ egész számok, hogy az előbbi kifejezés $m$-mel osztható legyen? $m\oszt a+d$ például egy szükséges feltétele a kívánt oszthatóságnak. Elegendő is ez a feltétel? Keressünk szükséges és elegendő feltételt!
• 2.36. probléma* (ld. még 2.34, 2.35; a könyv 38. oldalán): Ha az előző példa feladatait $$m\oszt ab^n+cn+d$$ formában tekintjük, akkor azt vesszük észre, hogy mind a hat esetben $m\oszt c^2.$ Például {\rm b)}-ben $27\oszt 18^2.$ Vajon véletlen-e ez, vagy ha $m\oszt ab^n+cn+d$ minden $n\in \nn$ esetén, akkor $m\oszt c^2$ is igaz?
• 2.43. probléma* (a könyv 42. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket:$$\eqalign{&1+{1\over2}+{1 \over{1\cdot2}}=2,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over{1\cdot2}}+ {1\over{2\cdot3}}+{1\over{3\cdot1}}+{1\over{1\cdot2\cdot3}}=3,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+ {1\over4}+{1\over{1\cdot2}}+{1\over{1 \cdot3}}+\cdots+{1\over{2\cdot3\cdot4}}+{1\over{1\cdot2\cdot3\cdot4}}= 4.\cr}$$ Véletlen ez, amit észreveszünk, vagy általánosan is igaz? Fogalmazzuk meg pontosan a kérdést és azután próbáljuk megoldani!
• 2.48. probléma* (ld. még 2.49; a könyv 46. oldalán): Van-e $2000$ egymás után következő olyan természetes szám, hogy ezek mindegyikének létezik $a^{2000}$ alakú osztója? Itt természetesen $a>1$ pozitív egész szám, és $a^{2000}$ számonként változhat.
• 2.50. probléma** (ld. még 2.47, 2.48, 2.49; a könyv 47. oldalán): Az $n^k$ alakú számokat, ahol $n>1$, $k>1$ természetes szám, hatványszámnak fogjuk nevezni. \mitem{a)} Létezik-e hatványszámokból álló $m$ tagú számtani sorozat? $(m$ tetszőleges pozitív egész szám.$)$ \mitem{b)} Létezik-e különböző hatványszámokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat? \mitem{c)} Létezik-e különböző számokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat, amelynek egyetlen tagja sem hatványszám?\par
• 3.1. probléma** (ld. még 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 91. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy $${1\over{15}}<{1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots{{99}\over{100}}<{1\over{10}}.$$ \mitem{b)} Általánosítsuk a feladatot. \par
• 3.3. probléma* (ld. még 3.1, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, és $n>1,$ akkor $${1\over{n+1}}+ {1\over{n+2}}+\cdots+{1\over{2n}}>{{13}\over{24}}.$$
• 3.4. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$ és $n>1$, akkor $${n\over2}<a_n=1+ {1\over2}+ {1\over3}+\cdots+{1\over{2^n-1}}<n.$$
• 3.5. probléma (ld. még 3.4, 3.6, 3.7; a könyv 96. oldalán): Rögzítsünk egy tetszőleges $K$ számot. Mutassuk meg, hogy van olyan $n\in \nn^+,$ hogy $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}>K.$$
• 3.6. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 96. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+,$ akkor $$1+{1\over{2^2}}+{1\over{3^2}}+\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$
• 3.9. probléma** (ld. még 3.8; a könyv 98. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr^+$, $i=1,2,\ldots,n$, $n\in \nn^+$, $n\geq2,$ akkor $$\root n \of{a_1a_2\cdots a_n}\leq{{a_1+a_2+\cdots+a_n}\over n}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha $a_1=a_2=\ldots=a_n.$
• 3.11. probléma* (ld. még 3.19; a könyv 105. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $x\in \rr$, $x>-1,$ akkor $$(1+ x)^n\geq1+nx.$$ {\rm Ez az ú.n.\ Bernoulli-féle egyenlőtlenség.}
• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 4.76. probléma* (a könyv 194. oldalán): \mitem{a)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab körvonal? \mitem{b)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab háromszög?\par
• 4.77. probléma* (ld. még 4.74; a könyv 194. oldalán): Adott $n$ sík, amelyek mindegyike tartalmazza a $P$ pontot, de semelyik három síknak nincs közös egyenese. Hány részre osztják ezek a síkok a teret?
• 6.5. probléma* (ld. még 6.2, 6.3; a könyv 254. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq2$ akkor $$2\sqrt{n+1}- 2\sqrt n< {1\over{\sqrt n}}<2\sqrt n-2\sqrt{n-1}.$$ \mitem{b)} Keressünk olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $$1999<1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+\cdots+{1\over\sqrt n}<2000.$$
• 6.7. probléma** (ld. még 6.3; a könyv 255. oldalán): Mutassuk meg, hogy végtelen sok prímszám van.
• 6.11. probléma (a könyv 262. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $x\in \rr$, $n\in \nn^+$ esetén $$\sin x= 2^n\sin {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^{n-1}}}\cdots \cos {x\over2}.$$
• 6.14. probléma (ld. még 6.15, 6.18, 6.20; a könyv 265. oldalán): Legyen $1<x_1<2,$ és minden $n\in \nn^+$ esetén $x_{n+1}=1+x_n- x_n^2/2.$ Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3$, akkor $$|x_n-\sqrt2|<{1\over{2^n}}.$$
• 6.28. probléma** (a könyv 283. oldalán): A $T$ téglalapot lefedtük véges sok téglalappal. A lefedő téglalapok nem nyúlnak egymásba, és nem nyúlnak ki $T$-ből. Mutassuk meg, hogy ha a lefedő téglalapok legalább egyik oldala egész szám, akkor $T$-nek is legalább egyik oldala egész szám.
• 6.29. probléma** (ld. még 3.4, 3.5, 3.6, 3.7; a könyv 287. oldalán): Ez egy rejtvényszerű, nevezetes probéma. Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban. Lehetséges-e a sivatagon az autóval átkelni?