Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Síkmértani számítások trigonometriával - Szögfüggvények témakörbe eső problémák:
- 3.29. probléma* (a könyv 124. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_7$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq {{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq{1\over{\sqrt3}}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{13}$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq 2-\sqrt3.$$ \mitem{c)} Legyenek adva az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ valós számok, $n\geq4.$ Van-e olyan $K_n$ szám, hogy az adott számok között létezzék két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+ a_ia_j}}\leq K_n.$$
- 3.30. probléma** (a könyv 125. oldalán): Melyik nagyobb: a $\cos(\sin\,x),$ vagy a $\sin(\cos\,x)?$
- 4.5. probléma* (a könyv 129. oldalán): Adott egy $e$ egyenesen négy pont: $A$, $B$, $C$ és $D$ ebben a sorrendben. Mi azon $M$ pontok halmaza a térben, amelyekre $MCD\angle =MAD\angle +MBD\angle$?
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}