Síkmértani számítások trigonometria nélkül - Háromszögekben témakörbe eső problémák:

• 4.2. probléma (a könyv 127. oldalán): Hol helyezkednek el az $ABCD$ négyzet belsejében azok a $P$ pontok, amelyekre a $PAB$ háromszög területe fele a $PDA$ háromszög területének?
• 4.12. probléma* (a könyv 134. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adva van egy oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a hossza, valamint tudjuk, hogy az adott oldalon fekvő két belső szög közül az egyik kétszer akkora, mint a másik!
• 4.13. probléma* (ld. még 4.47; a könyv 135. oldalán): Szerkesszünk adott $ABC$ háromszög $AB$ oldalára merőlegesen olyan egyenest, amely felezi a háromszög területét!
• 4.19. probléma (a könyv 142. oldalán): Egy adott derékszögű háromszög egyik befogójára emelt kör az átfogót $1:3$ arányban osztja. Megállapítható-e ebből az adatból a derékszögű háromszög további két szöge?
• 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
• 4.21. probléma (ld. még 4.20; a könyv 142. oldalán): Határozzuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szögét, ha $C$-nek és a háromszög magasságpontjának a távolsága a körülírt kör sugarával egyenlő!
• 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
• 4.23. probléma* (a könyv 144. oldalán): Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő belső szög nagysága $120^\circ$. A belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszai legyenek $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Mekkora a $C_1A_1B_1\angle$?
• 4.24. probléma (a könyv 145. oldalán): Érintse az $ABC$ derékszögű háromszögbe írt kör az $AB$ átfogót a $D$ pontban. Igazoljuk, hogy a háromszög területe megegyezik annak a téglalapnak a területével, amelynek oldalai $AD$ és $BD$!
• 4.26. probléma (ld. még 4.27; a könyv 146. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög beírt körének sugara $r$, hozzáírt köreinek sugarai $r_a$, $r_b$, $r_c$, akkor $${1 \over r}={{1 \over r_a}+{1 \over r_b}+{1 \over r_c}}$$
• 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
• 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
• 4.29. probléma (ld. még 4.26, 4.27; a könyv 150. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármelyik magassága egyenlő a közrefogó oldalakhoz hozzáírt körök sugarának harmónikus közepével!
• 4.30. probléma (a könyv 150. oldalán): Az $ABC$ derékszögű háromszögben olyan $r$ sugarú félkört szerkesztünk, amelynek középpontja az $AB$ átfogón van, és érinti az $a$ és $b$ befogókat. Bizonyítsuk be, hogy $${1 \over r}={{1 \over a}+{1 \over b}}$$
• 4.31. probléma (a könyv 150. oldalán): Adott derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk kifelé négyzeteket. Mutassuk meg, hogy a háromszög köré írható kör átmegy a négyzetek legtávolabbi csúcsait összekötő szakasz felezőpontján!
• 4.32. probléma* (a könyv 151. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű $ABC$ háromszögben $${AM+BM+CM}={2(R+r)},$$ ahol $M$ a háromszög magasságpontja, $r$ a beírt, $R$ pedig a körülírt kör sugara!
• 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
• 4.34. probléma* (a könyv 154. oldalán): Milyen összefüggésnek kell fennállni a háromszög $a$, $b$ és $c$ oldala között ahhoz, hogy a háromszöget egyik oldalával párhuzamosan egyetlen egyenessel két egyenlő területű és egyben egyenlő kerületű részre lehessen bontani?
• 4.37. probléma* (ld. még 4.35, 4.36; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. Fejezzük ki a háromszög területét $x$, $y$ és $z$ segítségével!
• 4.39. probléma (a könyv 157. oldalán): A hegyesszögű $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő szög $60^\circ$-os. A háromszög $B$-ből induló magasságának talppontja $D$, a $C$-ből induló magasság talppontja pedig $E$. Jelölje $M$ a háromszög magasságpontját, $O$ pedig a körülírt kör középpontját. Mutassuk meg, hogy az $OM$ egyenes felezi a $BME$ szöget!
• 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
• 4.42. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszögön belül tetszőlegesen felvett $O$ ponton át húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, ezek közül három háromszög. E háromszögekbe írt körök sugarai legyenek $r_1$, $r_2$, $r_3$, az $ABC$ háromszögbe írt kör sugara pedig legyen $r$. Mutassuk meg, hogy $r=r_1+r_2+r_3$!
• 4.47. probléma (ld. még 4.13; a könyv 163. oldalán): Milyen arányban kell az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogóját két részre osztanunk, ha azt szeretnénk elérni, hogy az osztási pontban az átfogóra emelt merőleges felezze a háromszög területét?
• 4.48. probléma (a könyv 164. oldalán): Rajzoljunk egy $2/\sqrt{3}$ egység oldalú szabályos hatszöget. Helyezzünk el a síkban egységnyi sugarú köröket úgy, hogy középpontjaik a hatszög belsejében legyenek. Mutassuk meg, hogy alkalmasan választott egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsaiban elhelyezett tűvel a körök mind rögzíthetők a síkhoz!
• 4.50. probléma (ld. még 4.51; a könyv 165. oldalán): Egységnyi oldalú szabályos háromszögbe beírunk három kört a \aref{kj94}.\ ábrán látható kétféle módon. Melyik esetben nagyobb a három kör által a háromszögből lefedett terület?
• 4.51. probléma** (ld. még 4.50, 4.52; a könyv 166. oldalán): Adott háromszögbe szerkesszünk három olyan kört, amelyek mindegyike érinti a háromszög két oldalát és a másik két kört! {\rm (Malfatti-körök szerkesztésének problémája)}
• 4.52. probléma** (ld. még 4.51; a könyv 169. oldalán): Az $ABC$ háromszögbe írjunk be egy $k_1$ kört úgy, hogy érintse a $BC$ és $CA$ oldalakat, sugara pedig kisebb legyen a háromszög beírt körének sugaránál, de nagyobb legyen a beírt kört, valamint a $BC$ és $CA$ oldalakat belső pontban érintő kör sugaránál. Ezután vegyük fel a $k_2$ kört úgy, hogy kívülről érintse a $k_1$ kört, valamint érintse az $AB$ és $CA$ oldalakat. A $k_3$ kör érintse kívülről a $k_2$ kört, valamint az $AB$ és $BC$ oldalakat. Az eljárást folytatva köröknek olyan sorozatát kapjuk, amelyek kívülről érintik az előző kört, valamint a háromszög két oldalát. Mutassuk meg, hogy a $k_7$ kör azonos a $k_1$ körrel!
• 4.55. probléma (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb $20$-nál!
• 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$