Azonosságok - Nevezetes azonosságok témakörbe eső problémák:

• 2.1. probléma (ld. még 2.2, 2.3; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a).$$
• 2.2. probléma (ld. még 2.1, 2.3, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2.$$
• 2.3. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bz-cy)^2+(cx-az)^2+ (ay-bx)^2.$$
• 2.4. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$\eqalign{&(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+u^2)-(ax+by+cz+du)^2\cr &=(ay-bx)^2+ (az-cx)^2+(au-dx)^2+(bz-cy)^2+(bu-dy)^2+(cu-dz)^2.\cr}$$
• 2.5. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.4; a könyv 21. oldalán): \'Irjunk fel olyan azonosságot, amelynek speciális eseteként adódik a \prob{pl5}., \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ példa. Igazoljuk is a felírt azonosságot!
• 2.6. probléma (ld. még 2.2, 2.5; a könyv 22. oldalán): A \prob{pl5}.\ példából következik, hogy tetszőleges $a$, $b$, $x$, $y$ valós számok esetén $$(ax+by)^2\leq(a^2+b^2)(x^2+y^2).$$ Fogalmazzunk meg hasonló egyenlőtlenségeket a \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ és a \prob{pl8}.\ példa azonosságainak a felhasználásával.
• 2.7. probléma (ld. még 2.8, 2.9; a könyv 22. oldalán): Igazoljuk, hogy $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc- ca).$$
• 2.8. probléma (ld. még 2.7, 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy $$ (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c) (c+a)=2(a^3+b^3+c^3-3abc).$$
• 2.9. probléma* (ld. még 2.8; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy {\openup\jot \mitem{a)} $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=0;$ \mitem{b)} $(a^2-bc)^3+(b^2-ac)^3+(c^2-ab)^3-3(a^2-bc) (b^2-ac)(c^2-ab)=(a^3+b^3+c^3-3abc)^2;$ \mitem{c)} $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3-3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=$ $4(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{d)} $(3a-b-c)^3+(3b-c-a)^3+(3c-a-b)^3-3(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=$ $16(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{e)} $(4a-b-c)^3+(4b-c-a)^3+(4c-a -b)^3-3(4a-b-c)(4b-c-a)(4c-a-b)=$ $50(a^3+b^3+c^3-3abc).$\par}
• 2.10. probléma (ld. még 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2=x+y+z=1,$$ akkor $xyz=0$.
• 2.12. probléma (ld. még 2.9; a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, akkor $$nx^{n+1}- (n+1)x^n+1$$ osztható $(x-1)^2$-nel!
• 2.13. probléma (a könyv 25. oldalán): Elő lehet-e állítani az $$xy(7x-2)(5y+2)$$ kifejezést $P^2(x,y)-Q^2(x,y)$ alakban, ahol $P$ és $Q$ az $x$ és $y$ polinomja és az együtthatók egész számok?
• 2.14. probléma (ld. még 2.9; a könyv 25. oldalán): \'Irjuk egyszerűbb alakba a következő törteket $($anélkül, hogy külön kiírnánk, kizárjuk azokat az értékeket, ahol a nevező $0)$: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{1\over{(a+b)^2}}{\left({1\over{a^2}}+{1\over{b^2}}\right)}+ {2\over{(a+b)^3}}{\left({1\over a}+{1\over b}\right)}$ \mitem{b)} $\displaystyle{{a+b}\over{ax+by}}+{{a-b}\over{ax-by}}+{{2(a^2x+ b^2y)}\over{a^2x^2+b^2y^2}}-{{4(a^4x^3-b^4y^3)}\over{a^4x^4- b^4y^4}}$ \mitem{c)} $\displaystyle{a\over{a^3+a^2b+ab^2+b^3}}+{b\over{a^3-a^2b+ab^2-b^3}} +{1\over{a^2-b^2}}-{1\over{a^2+b^2}}-{{a^2+3b^2}\over{a^4-b^4}}$ \mitem{d)} $\displaystyle{1\over{a(a-b)(c-a)}}+{1\over{b(a-b)(b-c)}}+{1\over {c(c-a)(b-c)}}$ \mitem{e)} $\displaystyle{{a^2-b^2}\over{(a+b)^2}}+{{b^2-c^2}\over{(b+c)^2}}+ {{c^2-a^2}\over{(c+a)^2}}$ \mitem{f)} $\displaystyle{{bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{ca}\over{(b+c)(b+a)}}+ {{ab}\over{(c+a)(c+b)}}+{{2abc}\over{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ \mitem{g)} $\displaystyle{{a^2-bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{b^2-ac}\over{(b+ c)(b+a)}}+{{c^2-ab}\over{(c+a)(c+b)}}$ \mitem{h)} $\displaystyle{{(a-x)(a-y)(a-z)}\over{(a-b)(a-c)}}+{{(b-x)(b- y)(b-z)}\over{(b-c)(b-a)}}+{{(c-x)(c-y)(c-z)}\over{(c- a)(c-b)}}$\par}
• 2.15. probléma* (ld. még 2.8, 2.9, 2.16; a könyv 26. oldalán): Legyen $$t_n={{a^n}\over{(a-b)(a-c)}}+{{b^n}\over{(b-a)(b- c)}}+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)}}.$$ Számítsuk ki $t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ és $t_4$-et.
• 2.49. probléma* (ld. még 2.47, 2.48, 2.50; a könyv 46. oldalán): \mitem{a)} Létezik-e olyan $n$ természetes szám, hogy minden páros $k$ természetes szám esetén $$k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat egyetlen tagja sem osztható $n$-nel? \mitem{b)} Bármely $n$ természetes számhoz található olyan $k$ természetes szám, hogy a $$k+1, k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat minden tagja osztható $n$-nel.\par
• 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!
• 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
• 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$
• 4.57. probléma** (ld. még 4.58; a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$S={{{(a+b+c)}^2} \over {bc}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$ és $K_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén ${K_1}\leq S \leq {K_2}$?
• 4.58. probléma** (ld. még 4.57; a könyv 175. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$T={{(a+b+c)^2} \over {ca}} \quad \hbox{ illetve } \quad U={{(a+b+c)^2} \over {ab}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$, $M_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén teljesüljenek a $${K_1} \leq T \leq {K_2} \quad \hbox{ illetve } \quad {M_1} \leq U \leq {M_2}$$ egyenlőtlenségek?
• 6.1. probléma (ld. még 6.2, 6.3, 6.8; a könyv 251. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ egy háromszög oldalai. Vannak-e olyan $k$ és $K$ számok, hogy bármely háromszög esetén $$k\leq S= \left|{a\over b}+{b\over c}+{c\over a}-{b\over a}-{c\over b}-{a\over c} \right|\leq K.$$
• 6.2. probléma* (ld. még 6.1, 6.3; a könyv 251. oldalán): Van-e olyan $K$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over2}+ \cdots+{1\over n}<K?$$
• 6.16. probléma (a könyv 267. oldalán): Milyen pozitív $a$ szám esetén lesz $$\root3\of{2+\sqrt a}+ \root3\of{2-\sqrt a}$$ egész szám?
• 6.21. probléma (ld. még 6.1; a könyv 271. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x, y, z\in [0,1],$ akkor $$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) \leq1.$$
• 6.22. probléma* (ld. még 6.12; a könyv 272. oldalán): Tegyük fel, hogy az $\{a_n\}$ sorozat elemei benne vannak a $(0,1)$ intervallumban. Anna úgy látja, hogy ha valaki az $n$-edik lépésben $a_n$ méter utat tesz meg, akkor bármilyen messze el tud jutni a kiinduló ponttól, ha elegendően sok lépést tesz meg. Domokostól $1$ méterre van egy megrakott asztal. Első lépésben Domokos $a_1\cdot1$ méter utat tesz meg, a második lépésben $a_2(1-a_1 \cdot1)$ utat, a harmadikban $a_3(1-d_2)$ utat, ahol $d_2$ jelenti a Domokos által első két lépésben megtett utat, és így tovább, az $n$-edik lépésben megtett út: $a_n(1-d_{n-1}),$ ahol $d_{n-1}$ jelenti a Domokos által az első $n-1$ lépésben megtett utat. Eljut-e Domokos az asztalhoz?