Szélsőérték feladatok - Egyéb szélsőérték feladatok témakörbe eső problémák:

• 3.26. probléma (a könyv 121. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ olyan valós számok, hogy $$a+ b+c+d+e=20;\quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=100.$$ Állapítsuk meg, hogy legfeljebb mekkora lehet $e$.
• 3.28. probléma (a könyv 123. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egész számok, $a+b+c+d=30,$ akkor mivel egyenlő az $abcd$ szorzat maximuma?
• 3.29. probléma* (a könyv 124. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_7$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq {{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq{1\over{\sqrt3}}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{13}$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq 2-\sqrt3.$$ \mitem{c)} Legyenek adva az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ valós számok, $n\geq4.$ Van-e olyan $K_n$ szám, hogy az adott számok között létezzék két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+ a_ia_j}}\leq K_n.$$
• 4.87. probléma* (ld. még 4.88; a könyv 203. oldalán): Adott a síkon háromnál több, de véges sok pont úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Lehet-e minden esetben olyan kört találni, amely legalább három adott ponton átmegy, és amelynek belsejében egy sincs az adott pontok közül?
• 5.5. probléma* (ld. még 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 5.8; a könyv 214. oldalán): Az $A$ esemény valószínűsége $3/4$, a $B$ eseményé $2/3$. Legyen $p$ annak a valószínűsége, hogy $A$ is és $B$ is bekövetkezik. Adjuk meg $p$ lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét!
• 5.26. probléma** (ld. még 5.27, 5.28, 5.29; a könyv 228. oldalán): Véletlenországban a halálra ítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húzhatnak. Két urnát használnak erre, mindegyikben $25-25$ fehér és fekete golyó van. A bűnös szemét bekötik, így választ urnát és abból húz ki egy golyót. Ha fehéret húz kegyelmet kap, ha feketét, akkor kivégzik. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszése szerint ő oszthassa szét az urnákban. Kívánságát teljesítették. Kérdés hogyan ossza el a golyókat, ha nagyobb eséllyel akar megmenekülni?